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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 偏微分求解
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bingmei527

铁虫 (初入文坛)

[求助] 偏微分求解 已有2人参与

问题在附件图片上，希望哪位高手帮帮忙！

偏微分求解
IMG_20140414_230851.jpg
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1楼 2014-04-14 23:09:19
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这应该是弹性力学中的无限长圆柱杆件的轴对称问题的力的平衡方程吧。由广义胡可定律，εθ=1/E*(σθ-ν*σr)
依题意εθ=k*σr*(1+ν)/E*r^2/R^2
由此得到σθ=σr*[ν+k*(1+ν)*(r/R)^2]                           (1)
代入力的平衡方程中得到：
Pσr/Pr+[1-ν-k*(1+ν)*(r/R)^2]/r*σr+[ν+k*(1+ν)*(r/R)^2]/r*Pσr/Pθ=0
令σr=f(r)*g(θ)                                                           (2)
g(θ)*df(r)/dr+[1-ν-k*(1+ν)*(r/R)^2]/r*f(r)*g(θ)+[ν+k*(1+ν)*(r/R)^2]/r*f(r)*dg(θ)/dθ=0
两边同除以 f(r)*g(θ),得到 :
{[df(r)/dr]/f(r)+[1-ν-k*(1+ν)*(r/R)^2]/r}/{[ν+k*(1+ν)*(r/R)^2]/r}
= - [dg(θ)/dθ]/g(θ)
由于左边为r的函数，右边为θ的函数，两者相等说明均为某一个常数A。由此得到：
- [dg(θ)/dθ]/g(θ)=A                                        （3）
{[df(r)/dr]/f(r)+[1-ν-k*(1+ν)*(r/R)^2]/r}/{[ν+k*(1+ν)*(r/R)^2]/r}
   =A                                                              （4）   
由（3）:
   g(θ)=B*e^(-A*θ)                                         (5)
由（4）:
    f(r)=C*e^{(A+1)*r-R/Sqrt[ν*(1+ν)*k]*Arctg{sqrt[k*(1+ν)/ν]/R}}                                                             (6)
将（5）（6）代入（2）得到σr，再将σr代入（1）即得到σθ。
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3楼2014-04-15 10:17:24
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巅子~

金虫 (小有名气)

癫子

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
做出来了不知道怎么回复给你

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2楼2014-04-15 00:48:29
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

补遗：计算中出现的A、B、C均为积分常数，要由方程定解问题的边界条件来确定。
赞一下 回复此楼
4楼2014-04-15 10:21:31
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bingmei527

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-15 10:17:24
这应该是弹性力学中的无限长圆柱杆件的轴对称问题的力的平衡方程吧。由广义胡可定律，εθ=1/E*(σθ-ν*σr)
依题意εθ=k*σr*(1+ν)/E*r^2/R^2
由此得到σθ=σr*                           (1)
代入力的平衡 ...

谢谢~
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5楼2014-04-15 15:57:44
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