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lilihurry银虫 (小有名气)
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| 设函数f(x)=x^3-3ax-1,a≠0,(1)求f(x)单调区间，若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=mx,与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围 |
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peterflyer 
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3楼2014-04-03 15:13:22
peterflyer
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
lilihurry(feixiaolin代发): 金币+5 2014-04-05 16:42:53
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f '(x)=3*x^2-3*a ; f "(x)=6*x 显然，若a<=0,f '(x)>=0. f(x)在（-∞，∞）上单调递增； 若a>0, 令f '(x)=0,解得x=±sqrt(a)。 将其代入f"(x),得知驻点为±sqrt(a)，取负号时得极大值，取正号时得极小值。 由此得知:在(-∞，-sqrt(a))和(sqrt(a),∞)上单调递增, 在(-sqrt(a)，sqrt(a))上单调递减。 若f(x)在x=-1处取得极值，-sqrt(a)=-1, 故a=1 即 f(x)=x^3-3*x-1 由f(x)=x^3-3*x-1图像的性质,存在一个k>0，当m∈(-k,∞)时有三个交点，当m∈(∞-,k)时，只有一个交点，而k即为由原点向f '(x)所做切线的斜率。 设切点坐标为(x0,f(x0)),则切线方程为： y-f(x0)=f '(x0)*[x-x0] ，即y=[3*x0^2-3]*x-2*x0^3-1 由于此切线过原点，故-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3) 故-k=3*[1/2^(1/3)]^2-3 , K=3-3/2^(2/3) |
4楼2014-04-03 16:11:30
