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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请大师帮忙解决一中学问题，谢谢，急用！
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lilihurry

银虫 (小有名气)

[求助] 请大师帮忙解决一中学问题，谢谢，急用！ 已有3人参与

设函数f(x)=x^3-3ax-1,a≠0,(1)求f(x)单调区间，若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=mx,与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围
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1楼 2014-04-03 12:43:05
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我爱鸡蛋饼

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
-√a＜x＜√a单调递减，x大于√a或小于负根号下a单调递增

[ 发自小木虫客户端 ]
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2楼2014-04-03 13:10:59
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
f(x)=x^3-3ax-1在x=-1处有极值，则a=1
于是当f(-1)>m(-1)且f(1)<m时曲线f(x)与直线y=mx有三个交点
即m>-1，这就是所要求的m的取值范围。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-04-03 15:13:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry(feixiaolin代发): 金币+5 2014-04-05 16:42:53
f '(x)=3*x^2-3*a ; f "(x)=6*x
显然，若a<=0,f '(x)>=0. f(x)在（-∞，∞）上单调递增；
若a>0, 令f '(x)=0,解得x=±sqrt(a)。
将其代入f"(x),得知驻点为±sqrt(a)，取负号时得极大值，取正号时得极小值。
由此得知:在(-∞，-sqrt(a))和(sqrt(a),∞)上单调递增,
              在(-sqrt(a)，sqrt(a))上单调递减。

若f(x)在x=-1处取得极值，-sqrt(a)=-1, 故a=1
  即   f(x)=x^3-3*x-1
由f(x)=x^3-3*x-1图像的性质,存在一个k>0，当m∈(-k,∞)时有三个交点，当m∈(∞-,k)时，只有一个交点，而k即为由原点向f '(x)所做切线的斜率。
设切点坐标为(x0,f(x0)),则切线方程为：
y-f(x0)=f '(x0)*[x-x0] ，即y=[3*x0^2-3]*x-2*x0^3-1
由于此切线过原点，故-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)
故-k=3*[1/2^(1/3)]^2-3 , K=3-3/2^(2/3)
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4楼2014-04-03 16:11:30
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lilihurry

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-03 16:11:30
f '(x)=3*x^2-3*a ; f "(x)=6*x
显然，若a<=0,f '(x)>=0. f(x)在（-∞，∞）上单调递增；
若a>0, 令f '(x)=0,解得x=±sqrt(a)。
将其代入f"(x),得知驻点为±sqrt(a)，取负号时得极大值，取正 ...

请问答案是不是有点问题呢？-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)，,存在一个k>0，当m∈(-k,∞)时有三个交点，当m∈(∞-,k)时，只有一个交点，而k即为由原点向f '(x)所做切线的斜率。这个是怎么看的呢？
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5楼2014-04-04 09:34:58
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by lilihurry at 2014-04-04 09:34:58
请问答案是不是有点问题呢？-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)，,存在一个k>0，当m∈(-k,∞)时有三个交点，当m∈(∞-,k)时，只有一个交点，而k即为由原点向f '(x)所做切线的斜率。这个是怎么看的呢？...

楼主实际做一下图就可明白了。
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6楼2014-04-04 10:19:51
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