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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 区域的闭包是否连通
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Orlicz

金虫 (小有名气)

[求助] 区域的闭包是否连通 已有3人参与

定义连通的开集为区域，问：区域的闭包是否连通？(若不是，请给个反例或链接)
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1楼 2014-02-18 10:52:39
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ilokb

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
如果区域定义成连通开集的话，那么区域的闭包是连通的。
我记得老师说过圆盘是默认连通的，然后在闭包内任取两点，分情况讨论一下就好。在边界上时因为是聚点可以做一个小圆盘回到区域内部讨论。在区域内则已经能做出连通路径了。
拙见
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3楼2014-02-18 13:08:43
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
貌似 应该是连通的。
假设C是连通开集，C闭 = A 无交并 B， A, B 开。 那么 C= (C交A) 无交并 (C交B), 不妨设 C交A 为空集， 即
C 含于 B. 由于 B 含于 A补，因此 B闭含于 (A补 交 C闭), 从而 B= B闭， 从而B=C闭。  因此 C闭连通。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-02-18 12:39:04
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Orlicz

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-02-18 12:39:04
貌似 应该是连通的。
假设C是连通开集，C闭 = A 无交并 B， A, B 开。 那么 C= (C交A) 无交并 (C交B), 不妨设 C交A 为空集， 即
C 含于 B. 由于 B 含于 A补，因此 B闭含于 (A补 交 C闭), 从而 B= B闭， 从而B=C闭 ...

不好意思啊，请问一下“A 无交并 B”是什么意思？
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4楼2014-02-18 18:10:13
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Orlicz

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by ilokb at 2014-02-18 13:08:43
如果区域定义成连通开集的话，那么区域的闭包是连通的。
我记得老师说过圆盘是默认连通的，然后在闭包内任取两点，分情况讨论一下就好。在边界上时因为是聚点可以做一个小圆盘回到区域内部讨论。在区域内则已经能做 ...

因圆盘是个非常特殊的集合，其连通性显然。不怎么具备一般性，谢谢！
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5楼2014-02-18 18:12:04
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