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风月何处木虫 (正式写手)
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[求助]
哪位高手可以帮我解答，常微分方程，解的延拓课后习题求解 已有3人参与
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下题第5 题，谁能给解答一下。不胜感激！ 图片.jpg [ Last edited by 风月何处 on 2014-2-14 at 18:42 ] |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
风月何处: 金币+4, ★有帮助, 谢谢参与讨论 2014-02-16 15:10:59
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风月何处: 金币+4, ★有帮助, 谢谢参与讨论 2014-02-16 15:10:59
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一点想法而已。 由 yf(y) <0 可知 f(y)在y=0左右变号，因此f(0)=0. 所以 y=0 (常数函数) 是微分方程的一个解。 现在从 x_0 到 比x_0大的 A 上积分两边 2y * dy/dx = 2yf(y), 因此 y^2 是严格递减的， 但是又不能碰到 y=0 (解的唯一性), 那么任取有界开矩形 (x_0, A) x ( 0, y_0), 根据延拓定理， 解(x, y(x)) 可以持续延拓直到任意逼近区域的边界， 那么这边界只能是矩形右侧x=A这一小段。 由A的任意性， 解在[x_0, infinity) 上存在。 由y^2 单调下降有下界知道 Lim_{x -> infinity} y(x) =a 极限存在。那么 y的导数趋于零，所以 f(a)=0. 可是f(x) 只有一个零点，就是 a=0. |
2楼2014-02-15 15:25:29