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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于行列式的问题
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RoyZhang

金虫 (小有名气)

[求助] 关于行列式的问题 已有1人参与

一个关于数学问题请大家讨论指导

F是3*3未知矩阵，|F|>0；r1、r2、r3是已知线性无关的三个向量；a1，a2为已知向量，已知：
F*r1=a1
F*r2=a2

求F*r3=？？？

请问该问题是否可解？需要如何解？如果条件不够，还需什么样的条件？


这个问题我是求解一个运动学问题得到的，这个运动学问题这样描述：一个刚体自由运动，运动形式未知，只知道不在同一直线上的三点的加速度，求该刚体任意一点的加速度
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1楼 2014-01-18 19:03:14
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
F*r1=a1
F*r2=a2
→ F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2;
F*(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T
若 (r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T 满秩
F = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T*Inv[(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T ]
则 F*r3=可求
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2楼2014-01-18 19:18:27
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RoyZhang

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-18 19:18:27
F*r1=a1
F*r2=a2
→ F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2;
F*(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T
若 (r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T 满秩
F = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T*Inv
则 F*r3=可求

请问此 F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2 其中的2选取的依据是什么？为什么不是1或别的？
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3楼2014-01-18 19:46:27
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by RoyZhang at 2014-01-18 19:46:27
请问此 F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2 其中的2选取的依据是什么？为什么不是1或别的？...

实际上可以是任意常数k，你可以随意确定
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4楼2014-01-18 19:57:50
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RoyZhang

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-18 19:57:50
实际上可以是任意常数k，你可以随意确定...

经过推导(r1+k*r2)*(r1+k*r2)^T，不可能是满秩阵，该方法无效，但是一样谢谢你
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5楼2014-01-18 20:15:58
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
RoyZhang: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-01-19 15:06:13
RoyZhang: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-01-19 15:06:46
似乎不可解。因为虽然|F|>0，即F满秩，可以求逆，从而获得r1和r2。但即使知道r1、r2，并知道r1、r2、r3是已知线性无关的三个向量，仍无法确定r3，因为有无数个不同的向量可以和已知的r1和r2线性无关。故无法确定F*r3=？。
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6楼2014-01-18 20:48:25
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RoyZhang

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-01-18 20:48:25
似乎不可解。因为虽然|F|>0，即F满秩，可以求逆，从而获得r1和r2。但即使知道r1、r2，并知道r1、r2、r3是已知线性无关的三个向量，仍无法确定r3，因为有无数个不同的向量可以和已知的r1和r2线性无关。故无法确定 ...

r1，r2，r3不仅线性无关，而且均为已知
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7楼2014-01-18 21:05:18
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
7楼: Originally posted by RoyZhang at 2014-01-18 21:05:18
r1，r2，r3不仅线性无关，而且均为已知...

此题的关键在于求出矩阵F。若矩阵r1*r1^T或矩阵r2*r2^T之中至少有一个是满秩矩阵，设其为R*R^T，则此时F*R=A。则可求出其逆阵*(R*R^T)^(-1)。从而F=A*R^T*(R*R^T)^(-1)。
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8楼2014-01-18 21:58:23
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RoyZhang

金虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2014-01-18 21:58:23
此题的关键在于求出矩阵F。若矩阵r1*r1^T或矩阵r2*r2^T之中至少有一个是满秩矩阵，设其为R*R^T，则此时F*R=A。则可求出其逆阵*(R*R^T)^(-1)。从而F=A*R^T*(R*R^T)^(-1)。...

R*R^T这种形式的矩阵秩必定为1，绝对不可能满秩啊！
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9楼2014-01-18 22:25:48
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