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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 状态方程变换后的一个矩阵是否可以写成左边部分列满秩矩阵的形式？
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everfx

铜虫 (正式写手)

[求助] 状态方程变换后的一个矩阵是否可以写成左边部分列满秩矩阵的形式？

考虑线性时不变系统dx/dt=Ax+Bu+Dd,y=Cx+Ew.x为系统状态，u为控制输入,y为测量输出,d为输入扰动,w为测量噪声.假设x为n*1列向量，u为r*1列向量，d为q*1列向量，w为s*1列向量，y为p*1列向量。A，B，C，D，E为适维的常值矩阵。假设D和E为列满秩矩阵。对状态方程做线性变换x=Qx“（注意x“表示变换后的状态变量，只是个记号），Q为非奇异常值矩阵。对y也做变换y=Uy“（同样y“表示变换后的测量输出变量），U为正交的常值矩阵。把U写成分量形式为U=[U1 U2]，其中U1为p*s维矩阵，U2为p*(p-s)维矩阵。
定义矩阵C“=U2’*C*Q，其中U2’为U2的转置矩阵。然后，把C“写成分量形式C“=[C1 C2]，其中C1为(p-s)*q维，C2为(p-s)*(n-q)维。问题是：请给出C1阵是列满秩的证明。（当然了，假设n>q,p>s)
几点说明：对C阵，如果确实需要C为行满秩矩阵，可以假设有这个条件成立。上面给出的假设是Q为非奇异矩阵，如果确实需要Q是正交阵才能得出结论，也可以假设Q为正交阵，但尽量不要作Q是正交阵的假设！
给出一种构造形式也是可以的，就是有这种给出C1是列满秩阵的可能性就可以了，当然得给出构造的形式。如果觉得其他的逻辑上说的过去的解释也是可以的，但是必须经得起逻辑检验。谢谢！

[ Last edited by everfx on 2014-1-4 at 20:35 ]
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1楼2014-01-04 20:16:02
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
实际上，在系统分析中，n阶系统的状态变量有很多种不同的取法。
在系统满秩的条件下，均可求解出来。
一般选择易观测的状态变量，并且最好是比较稳定的状态描述。
建议你结合系统稳健性探讨此问题。
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2楼2014-01-05 08:26:13
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everfx

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-05 08:26:13
实际上，在系统分析中，n阶系统的状态变量有很多种不同的取法。
在系统满秩的条件下，均可求解出来。
一般选择易观测的状态变量，并且最好是比较稳定的状态描述。
建议你结合系统稳健性探讨此问题。

老大，我现在需要这个阵是满秩阵！
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3楼2014-01-05 08:30:07
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by everfx at 2014-01-05 08:30:07
老大，我现在需要这个阵是满秩阵！...

我建议的原因是，可纳入纯粹数学变换以外的因素。
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4楼2014-01-05 08:35:00
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