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hanbinddd

铜虫 (小有名气)

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1楼2014-01-02 16:52:33

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

6楼: Originally posted by hanjingchina at 2014-01-03 08:50:36
周期函数嘛，在0点可导自然在2kpi（k为整数）；事实上可以证明在kpi点是可导的，导数为0

f(x) 可导当且仅当 x 为整数，这时导数为0。

由于limit_{x-->a, x有理} f(x)= Sin^2(pi*a), limit_{x-->a,x无理数} f(x)=0, 所以f在a点连续当且仅当 a是整数，这是f在a点可导的必要条件。

当 a是整数时，由于 f(x)-f(a)= 0 (x无理) 或 2*Sin(Pi*b)*Cos(Pi*b)*Pi*(x-a) (x 有理，Lagrange定理, 某个b在x 与a 之间). 因此 [f(x)-f(a)] / (x-a) 趋于0，即导数为0。充分性也有了。