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霞栖影

新虫 (小有名气)

[求助] 求助一道基础代数题目 已有1人参与

证明：设R为交换环，如果R上的自由模的子模都是自由的，则R为主理想整环
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1楼 2013-12-29 22:26:20
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霞栖影

新虫 (小有名气)
能将不带幺情况下证一下吗，谢谢

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2014-01-01 13:01:02
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
这根据定义就出来了，就不应助了。

R 作为R-模（假设带幺）是自由的，所以任意理想I 作为R的子模 是自由的。

设I的一组R-基至少含两个元素a,b. 由于R是交换的， 所以
b*a + (-a)*b=0, a,b是R（线性）相关的，与基元素的定义不符。
因此I的R-基只有一个元素a，就是说 I=(a)是主理想。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-12-30 02:56:01
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霞栖影

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-12-30 02:56:01
这根据定义就出来了，就不应助了。

R 作为R-模（假设带幺）是自由的，所以任意理想I 作为R的子模 是自由的。

设I的一组R-基至少含两个元素a,b. 由于R是交换的， 所以
b*a + (-a)*b=0, a,b是R（线性）相关的， ...

如果R不带幺呢
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3楼2013-12-30 11:34:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

feixiaolin: 2014-01-07 07:52:06
引用回帖:
3楼: Originally posted by 霞栖影 at 2013-12-30 11:34:50
如果R不带幺呢...

几乎没有考虑过没带幺的交换环，可难倒我了。

下面这个证明不假设带不带幺，所谓碰到困难绕道走。。。
取自由R-模F，维数为1(相当于一维线性空间), 设x 为基元。
对于任意理想I， Ix 为F的非零子模，因此是自由R-模。
设一组基 ax, bx,.... 由于 b*(ax) +  (-a)*(bx)=0, 所以 ax, bx 是R-相关的。 因此 Ix 必然是一维的自由模， 设ax是基元，那么由于x是F的基元，得出 I=(a) 是主理想。 进一步，由ax是基元，不存在b非零，使得b(ax)=0. 即a不是零因子。

由I的任意性， R中不会有零因子，从而R是主理想整环。
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-01-02 12:47:13
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