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| 证明：设R为交换环，如果R上的自由模的子模都是自由的，则R为主理想整环 |
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【答案】应助回帖
feixiaolin: 2014-01-07 07:52:06
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几乎没有考虑过没带幺的交换环，可难倒我了。 下面这个证明不假设带不带幺，所谓碰到困难绕道走。。。 取自由R-模F，维数为1(相当于一维线性空间), 设x 为基元。 对于任意理想I， Ix 为F的非零子模，因此是自由R-模。 设一组基 ax, bx,.... 由于 b*(ax) + (-a)*(bx)=0, 所以 ax, bx 是R-相关的。 因此 Ix 必然是一维的自由模， 设ax是基元，那么由于x是F的基元，得出 I=(a) 是主理想。 进一步，由ax是基元，不存在b非零，使得b(ax)=0. 即a不是零因子。 由I的任意性， R中不会有零因子，从而R是主理想整环。 |
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