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jiang8wei5

金虫 (著名写手)

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[求助] 弯头重心已有2人参与

哪位大虫知道90度弯头重心该怎么求啊，弯头有一定的壁厚。望机械大虫给与指点，感激涕零

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人在囧途

1楼 2013-12-27 14:09:47

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

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jiang8wei5: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-12-28 12:58:34
jiang8wei5: 金币+15, ★有帮助 2014-01-06 08:27:22
jiang8wei5: 金币+10, ★有帮助 2014-01-06 08:27:50
sweety: 机械EPI+1, 鼓励有价值的回帖 2014-01-06 11:14:27

先前的计算由于仓促，存在些计算错误，现更正如下：
   （1）先做个准备，求一个圆柱体被一个斜平面截取后的体积V和重心坐标的偏移量y*。
设圆柱面轴线垂直于XOY平面，直径为d，斜平面垂直于YOZ平面，与圆柱底面夹角为θ，被截后圆柱轴线高为H，则由重积分计算得到V=π*d^2*H/4，注意到它的体积与角度θ无关。由于对称性，其重心应在被截圆柱体的轴向对称面上即YOZ平面上，且由轴心向斜面高的方向偏移距离（y轴方向的移动量）y*=d^2*tgθ/(16*H) 。
(2) 现在回到原来的问题。
以弯头的一端的底面为XOY平面，则另一个底面为XOZ面。设弯头的外径为d,壁厚为t，其轴线的曲率半径为R，密度为ρ。以轴线的曲率中心为基准取一个圆心角为dφ的微元体积dV，依据（1）中的结论可以得到：
  弯头总质量M=Integral{ρ*dV,V}
                  =Integral{ρ*π/4*[d^2-(d-2*t)^2]*R*dφ, 0, π/2}
                  =π^2*ρ/2*(d*t-t^2)*R
由于对称性，弯头的重心一定在90度弯头中间的45度的径向对称面上，其位置相对于圆孔轴线的曲率中心的极坐标r*为：
r*=Integral{{R+d^2*tg(dφ)/[16*(R*dφ)]}*[π/4*d^2*(R*dφ)*ρ], 0, π/2}/M
      ={[R+d^2/(8*R)]*π^2*ρ*d^2*R/8}/[π^2*ρ/2*(d*t-t^2)*R]
      =[R+d^2/(8*R)]*d^2/[4*(d*t-t^2)]

注释：
（1）本计算的思路是：既然弯头体积微元为一个斜切的圆柱体，那就先求出斜切的圆柱体的体积V以及重心在半径方向上的偏移量，然后以此为计算弯头体积微元的基础；
（2）r*的计算是先计算出微元体积dV的质量ρ*dV对轴线曲率中心的半径极坐标矩r*ρ*dV,然后对其求积分，最后再除以总质量M即得到r*；
（3）前面的准备中的y*为相对于圆柱体的轴中心的偏移量，因此后面的r*的计算中要在此基础上再加上一个R，算得的即为相对于曲率中心的极坐标。

计算完毕。