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求助化学反应产物生成解析解 已有1人参与
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小弟想求教一个化学反应产物生成的浓度解析解 反应如下 A + B -------- C + B --------- D k1 k2 t=0 a b 0 0 t=t0 a-x b-2y x y 化合物A可以和B反应生成产物C反应速率常数为k1，C也可以和B反应生成D反应常数为k2。两个反应都不考虑反向的反应。 在反应刚开始时A的浓度为a，B的浓度为b。C和D都未生成 当反应进行到t0时产物C和D的浓度分别为x和y。 A和B的浓度分别a-x和b-2y 是否能够求得x和y随t变化的解析解？ [ Last edited by 树懒 on 2013-12-20 at 23:01 ] |
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2013-12-20 22:55:54, 201.85 K
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peterflyer 
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网名“树懒”的朋友，很抱歉，刚才我仔细检查后发现了先前的许多计算错误，现改正重新计算后再次传给你，请查收。 解题过程： dx/dt=k1*(a-x-y) (1) dy/dt=k2*x (2) x(0)=a, y(0)=b ，t>0 (3) 使用拉普拉斯变换法解常微分方程组。设x、y对t的拉氏变换分别为U、V。 由(1)和(3)：s*U-a=k1*a/s-k1*U-k1*V 整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1*a/s + a (4) 由（2）和（3）：s*V-b=k2*U 整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1*a/s + a (5) 由（4）和（5）联立解得： U=[a*s+k1*(a-b)]/{(s+k1/2)^2+[4*k1*k2-k1^2]/4} (6) V=k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*[(s+k1/2)^2+(4*k1*k2-k1^2)/4]} + b/s (7) 下面求U、V的拉氏反变换，求出x和y。 （1）若4*k1*k2-k1^2]/4<0，令 -m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0 则由代数中的真有理分式的分解定理，（6）、（7）可改写为： U=α*1/[s-(-m-k1/2)]+β*1/[s-(m-k1/2)] 其中：α=k1*(2*b-a)/(4*m) ；β= a – α ，均可由方程两边比较系数的方法确定。 V=k2*{γ*1/s +δ*1/[s-(-m-k1/2)]+ε/[s-(m-k1/2)]} + b/s 其中:γ、δ、ε均可由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得： γ= k1*(a-b)/{k1^2/4-m^2]} δ= (k1-2*m)* γ/(4*m) ε= -( γ+δ) 故： x=L^(-1)[U]= α*e^{-(m+k1/2)*t} +β*e^{-( k1/2-m)*t} Y= L^(-1)[V]=b + k2*γ+ k2*δ*e^[-( k1/2+m)*t] + k2*ε*e^[-( k1/2-m)*t] （2）若4*k1*k2-k1^2]/4=0， U= [a*s+k1*(a-b)]/[(s+k1/2)^2]= a*1/[s+k1/2]+k1*(a/2-b)/[s+k1/2]^2 V= k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*(s+k1/2)^2} +b/s =b/s+ k2*{γ/s+δ*1/[s+k1/2]+ε*1/[s+k1/2]^2} 其中γ、δ、ε由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得： γ=4*(a-b)/k1 δ= a - k1*γ/2 ε=-γ 故有： x=L^(-1)[U]= a*e^[(-k1/2)*t] + k1*(a/2-b)*t*e^[(-k1/2)*t] Y= L^(-1)[V]=b+k2*γ+k2*δ* e^[-(k1/2)*t] +k2*ε*t*e^[-(k1/2)*t] （3）若4*k1*k2-k1^2]/4>0 ,令m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0 U=[a*s+k1*(a-b)]/{(s+k1/2)^2+m^2} = a*(s+k1/2)/{[s+k1/2)]^2+m^2} + k1*(a/2-b)/m*m/{[s+k1/2)]^2+m^2} V= k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*[(s+k1/2)^2+m^2]} + b/s =b/s+ k2*{α*1/s+[β*(s+k1/2)+γ]/[ (s+k1/2)^2+m^2]} =[b+ k2*α]/s +k2*β*(s+k1/2) /[(s+k1/2)^2+m^2] + k2*γ/m*m/[(s+k1/2)^2+m^2] 其中α、β、γ由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得： α=k1*(a-b)/(m^2+k1^2/4) β= -α γ=a-k1*α/2 故有： x=L^(-1)[U]= a*e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t) + k1*(a/2-b)/m*e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t) Y= L^(-1)[V]= b+ k2*α+k2*β* e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t)+k2*γ/m* e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t) 注：L^(-1)[U]表示U的拉氏反变换，其他依次类推。 解题完毕。 |
5楼2013-12-21 21:22:03
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feixiaolin: 金币+1 2013-12-21 09:48:49
树懒: 金币+5, ★★★很有帮助, 大神非常抱歉，题目中的条件我写得有一些错误的地方，能不能看一下帖子，帮我重新解一下 2013-12-21 11:33:12
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树懒: 金币+5, ★★★很有帮助, 大神非常抱歉，题目中的条件我写得有一些错误的地方，能不能看一下帖子，帮我重新解一下 2013-12-21 11:33:12
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依据题意有： dx/dt=k1*(a-x) （1） dy/dt=k2*x （2） 由（1），x=a-C1*e^(-k1*t) 由t=0时x=0，C1=a ,故 x=a*[1-e^(-k1*t)] 将x代入（2），y=k2*a*t+k2*a/k1*e^(-k1*t)+C2 由t=0时y=0，C2=-k2/k1*a , 故 y=k2*a*t+k2*a/k1*[e^(-k1*t)-1] |
2楼2013-12-21 01:24:24
3楼2013-12-21 11:32:24
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树懒: 金币+15, ★★★很有帮助, 大神，到这个程度我已经看不明白了，我让我师兄看过，他说没问题他再好好看一下。谢谢你了 2013-12-21 17:55:47
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楼主，你这一改，题目一下子复杂多了。现将解题过程写在下边，请你检查是否有误，有什么问题或不明白的，及时沟通和讨论解决。 解题过程： dx/dt=k1*(a-x-y) （1） dy/dt=k2*x （2） x(0)=a, y(0)=b ，t>0 (3) 使用拉普拉斯变换法解常微分方程组。设x、y对t的拉氏变换分别为U、V。 由（1）和（3）：s*U-a=k1/s-k1*U-k1*V 整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1/s (4) 由（2）和（3）：s*V-b=k2*U 整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1/s (5) 由（4）和（5）联立解得： U=k1*(1-b)/{(s+k1/2)^2+[4*k1*k2-k1^2]/4} (6) V=k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2+(4*k1*k2-k1^2)/4]}+b/s (7) 下面求U、V的拉氏反变换，求出x和y。 （1）若4*k1*k2-k1^2]/4<0，令 -m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0 则由代数中的真有理分式的分解定理，（6）、（7）可改写为： U=k1*(1-b)/(2*m)*1/[s-(m-k1/2)]-k1*(1-b)/(2*m)*1/[s-(-k1/2-m)] V=α/s+β/[s-(m-k1/2)]+γ/[s-(-m-k1/2)]+b/s 其中α、β、γ可由比较系数法确定，经计算可得： α= k1*k2*(1-b)/{2*m^2*[(k1/2)^2-m^2]} β= -(k1+2*m)*α/(4*m) γ= -(α+β) 故：x=L^(-1)[U]= k1*(1-b)/(2*m)*e^{[(m-k1/2)]*t}- k1*(1-b)/(2*m)* e^{[(-m-k1/2)]*t} Y= L^(-1)[V]=b+α + β*e^[-( k1/2-m)*t]+γ*e^[-(m+k1/2)*t] （2）若4*k1*k2-k1^2]/4=0， U= k1*(1-b)/(s+k1/2)^2= k1*(1-b)/[s-(-k1/2)]^2 V= k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2]} +b/s =b/s+ k1*k2*(1-b)*{4/k1^2*1/s-2/k1*1/[s+k1/2]^2-4/k1^2*1/(s+k1/2)} x=L^(-1)[U]= k1*(1-b) *t*e^{[(-k1/2)*t} Y= L^(-1)[V]=b+4*k2*(1-b)/k1-2*k2*(1-b)*t*e^[-(k1/2)*t] -4*k2*(1-b)/k1* e^[-(k1/2)*t] （3）若4*k1*k2-k1^2]/4>0 ,令m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0 U=k1*(1-b)/{(s+k1/2)^2+m^2} = k1*(1-b)/m*m/{[s-(-k1/2)]^2+m^2} V=k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2+m^2]} +b/s =b/s+ k1*k2*(1-b)*{1/m^2*1/s+{[-1/m^2*(s+k1/2)] +k1/(2*m^3) *m}/{[s-(-k1/2)]^2+m^2}} =[b+ k1*k2*(1-b)/m^2]/s - k1*k2*(1-b)/m^2*(s+k1/2)/ {[s-(-k1/2)] ^2+m^2} + k1^2*k2*(1-b)/(2*m^3)* m/{[s-(-k1/2)]^2+m^2} 故有： x=L^(-1)[U]= k1*(1-b)/m*e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t) Y= L^(-1)[V]= b+ k1*k2*(1-b)/m^2 - k1*k2*(1-b)/m^2* e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t) + k1^2*k2*(1-b)/(2*m^3)* e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t) 注：L^(-1)[U]表示U的拉氏反变换，其他依次类推。 解题完毕。 |
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