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树懒

银虫 (小有名气)

[求助] 求助化学反应产物生成解析解 已有1人参与

小弟想求教一个化学反应产物生成的浓度解析解
反应如下
                A   +    B     --------     C     +    B   ---------     D
                                      k1                               k2
t=0          a          b                     0                                0
t=t0        a-x       b-2y                x                                y
化合物A可以和B反应生成产物C反应速率常数为k1，C也可以和B反应生成D反应常数为k2。两个反应都不考虑反向的反应。
在反应刚开始时A的浓度为a，B的浓度为b。C和D都未生成
当反应进行到t0时产物C和D的浓度分别为x和y。
A和B的浓度分别a-x和b-2y
是否能够求得x和y随t变化的解析解？

[ Last edited by 树懒 on 2013-12-20 at 23:01 ]
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1楼 2013-12-20 22:56:21
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树懒

银虫 (小有名气)
楼上的大神非常抱歉，题目中的条件我写得有一些错误的地方

在t=t0的时候化合物A的浓度应该是等于

a-x-y而不是a-x

所以能不能麻烦您重新帮我解一次
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3楼2013-12-21 11:32:24
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+1 2013-12-21 09:48:49
树懒: 金币+5, ★★★很有帮助, 大神非常抱歉，题目中的条件我写得有一些错误的地方，能不能看一下帖子，帮我重新解一下 2013-12-21 11:33:12
依据题意有：
     dx/dt=k1*(a-x)                   （1）
        dy/dt=k2*x                        （2）
由（1），x=a-C1*e^(-k1*t)
由t=0时x=0，C1=a ,故 x=a*[1-e^(-k1*t)]
  将x代入（2），y=k2*a*t+k2*a/k1*e^(-k1*t)+C2
由t=0时y=0，C2=-k2/k1*a ,
  故 y=k2*a*t+k2*a/k1*[e^(-k1*t)-1]
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2楼2013-12-21 01:24:24
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
树懒: 金币+15, ★★★很有帮助, 大神，到这个程度我已经看不明白了，我让我师兄看过，他说没问题他再好好看一下。谢谢你了 2013-12-21 17:55:47
引用回帖:
3楼: Originally posted by 树懒 at 2013-12-21 11:32:24
楼上的大神非常抱歉，题目中的条件我写得有一些错误的地方

在t=t0的时候化合物A的浓度应该是等于

a-x-y而不是a-x

所以能不能麻烦您重新帮我解一次

楼主，你这一改，题目一下子复杂多了。现将解题过程写在下边，请你检查是否有误，有什么问题或不明白的，及时沟通和讨论解决。
解题过程：
dx/dt=k1*(a-x-y)                                                    （1）
dy/dt=k2*x                                                          （2）
x(0)=a,  y(0)=b ，t>0                                               (3)
使用拉普拉斯变换法解常微分方程组。设x、y对t的拉氏变换分别为U、V。
由（1）和（3）：s*U-a=k1/s-k1*U-k1*V
           整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1/s                      (4)
由（2）和（3）：s*V-b=k2*U
            整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1/s                             (5)
由（4）和（5）联立解得：
   U=k1*(1-b)/{(s+k1/2)^2+[4*k1*k2-k1^2]/4}                   (6)
    V=k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2+(4*k1*k2-k1^2)/4]}+b/s   (7)

下面求U、V的拉氏反变换，求出x和y。
（1）若4*k1*k2-k1^2]/4<0，令 -m^2=4*k1*k2-k1^2]/4,  m>0
则由代数中的真有理分式的分解定理，（6）、（7）可改写为：
    U=k1*(1-b)/(2*m)*1/[s-(m-k1/2)]-k1*(1-b)/(2*m)*1/[s-(-k1/2-m)]
    V=α/s+β/[s-(m-k1/2)]+γ/[s-(-m-k1/2)]+b/s
其中α、β、γ可由比较系数法确定，经计算可得：
   α= k1*k2*(1-b)/{2*m^2*[(k1/2)^2-m^2]}
    β= -(k1+2*m)*α/(4*m)
    γ= -(α+β)
故：x=L^(-1)[U]= k1*(1-b)/(2*m)*e^{[(m-k1/2)]*t}- k1*(1-b)/(2*m)* e^{[(-m-k1/2)]*t}
Y= L^(-1)[V]=b+α + β*e^[-( k1/2-m)*t]+γ*e^[-(m+k1/2)*t]

（2）若4*k1*k2-k1^2]/4=0，
U= k1*(1-b)/(s+k1/2)^2= k1*(1-b)/[s-(-k1/2)]^2
V= k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2]} +b/s
=b/s+ k1*k2*(1-b)*{4/k1^2*1/s-2/k1*1/[s+k1/2]^2-4/k1^2*1/(s+k1/2)}
x=L^(-1)[U]= k1*(1-b) *t*e^{[(-k1/2)*t}
Y= L^(-1)[V]=b+4*k2*(1-b)/k1-2*k2*(1-b)*t*e^[-(k1/2)*t]
                       -4*k2*(1-b)/k1* e^[-(k1/2)*t]

（3）若4*k1*k2-k1^2]/4>0  ,令m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0
U=k1*(1-b)/{(s+k1/2)^2+m^2}
  = k1*(1-b)/m*m/{[s-(-k1/2)]^2+m^2}                        
V=k1*k2*(1-b)/{s*[(s+k1/2)^2+m^2]} +b/s
=b/s+ k1*k2*(1-b)*{1/m^2*1/s+{[-1/m^2*(s+k1/2)]
                             +k1/(2*m^3) *m}/{[s-(-k1/2)]^2+m^2}}
=[b+ k1*k2*(1-b)/m^2]/s
     - k1*k2*(1-b)/m^2*(s+k1/2)/ {[s-(-k1/2)] ^2+m^2}
     + k1^2*k2*(1-b)/(2*m^3)* m/{[s-(-k1/2)]^2+m^2}
故有：
  x=L^(-1)[U]= k1*(1-b)/m*e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t)
  Y= L^(-1)[V]= b+ k1*k2*(1-b)/m^2
                       - k1*k2*(1-b)/m^2* e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t)
                      + k1^2*k2*(1-b)/(2*m^3)* e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t)

注：L^(-1)[U]表示U的拉氏反变换，其他依次类推。


解题完毕。
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4楼2013-12-21 16:27:15
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
网名“树懒”的朋友，很抱歉，刚才我仔细检查后发现了先前的许多计算错误，现改正重新计算后再次传给你，请查收。

   解题过程：
    dx/dt=k1*(a-x-y)                                               (1)
    dy/dt=k2*x                                                   (2)
    x(0)=a,  y(0)=b ，t>0                                          (3)
   使用拉普拉斯变换法解常微分方程组。设x、y对t的拉氏变换分别为U、V。
由(1)和(3)：s*U-a=k1*a/s-k1*U-k1*V
   整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1*a/s + a                              (4)
由（2）和（3）：s*V-b=k2*U
   整理后：（s+k1）*U+k1*V=k1*a/s + a                              (5)
由（4）和（5）联立解得：
U=[a*s+k1*(a-b)]/{(s+k1/2)^2+[4*k1*k2-k1^2]/4}                        (6)
V=k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*[(s+k1/2)^2+(4*k1*k2-k1^2)/4]} + b/s              (7)

下面求U、V的拉氏反变换，求出x和y。
（1）若4*k1*k2-k1^2]/4<0，令 -m^2=4*k1*k2-k1^2]/4,  m>0
则由代数中的真有理分式的分解定理，（6）、（7）可改写为：
U=α*1/[s-(-m-k1/2)]+β*1/[s-(m-k1/2)]
其中：α=k1*(2*b-a)/(4*m) ；β= a – α ，均可由方程两边比较系数的方法确定。
V=k2*{γ*1/s +δ*1/[s-(-m-k1/2)]+ε/[s-(m-k1/2)]} + b/s
其中:γ、δ、ε均可由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得：
   γ= k1*(a-b)/{k1^2/4-m^2]}
   δ= (k1-2*m)* γ/(4*m)
   ε= -( γ+δ)
故：
x=L^(-1)[U]= α*e^{-(m+k1/2)*t} +β*e^{-( k1/2-m)*t}
Y= L^(-1)[V]=b + k2*γ+ k2*δ*e^[-( k1/2+m)*t] + k2*ε*e^[-( k1/2-m)*t]

（2）若4*k1*k2-k1^2]/4=0，
U= [a*s+k1*(a-b)]/[(s+k1/2)^2]= a*1/[s+k1/2]+k1*(a/2-b)/[s+k1/2]^2
V= k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*(s+k1/2)^2} +b/s   
=b/s+ k2*{γ/s+δ*1/[s+k1/2]+ε*1/[s+k1/2]^2}
其中γ、δ、ε由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得：
γ=4*(a-b)/k1
δ= a - k1*γ/2
ε=-γ
故有：
x=L^(-1)[U]= a*e^[(-k1/2)*t] + k1*(a/2-b)*t*e^[(-k1/2)*t]
Y= L^(-1)[V]=b+k2*γ+k2*δ* e^[-(k1/2)*t] +k2*ε*t*e^[-(k1/2)*t]

（3）若4*k1*k2-k1^2]/4>0  ,令m^2=4*k1*k2-k1^2]/4, m>0
U=[a*s+k1*(a-b)]/{(s+k1/2)^2+m^2}
  = a*(s+k1/2)/{[s+k1/2)]^2+m^2} + k1*(a/2-b)/m*m/{[s+k1/2)]^2+m^2}                        
V= k2*[a*s+k1*(a-b)]/{s*[(s+k1/2)^2+m^2]} + b/s
=b/s+ k2*{α*1/s+[β*(s+k1/2)+γ]/[ (s+k1/2)^2+m^2]}
=[b+ k2*α]/s +k2*β*(s+k1/2) /[(s+k1/2)^2+m^2] + k2*γ/m*m/[(s+k1/2)^2+m^2]
其中α、β、γ由方程两边比较系数的方法确定。经计算可得：
   α=k1*(a-b)/(m^2+k1^2/4)
β= -α
γ=a-k1*α/2
故有：
  x=L^(-1)[U]= a*e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t) + k1*(a/2-b)/m*e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t)
  Y= L^(-1)[V]= b+ k2*α+k2*β* e^[(-k1/2)*t]*Cos(m*t)+k2*γ/m* e^[(-k1/2)*t]*Sin(m*t)

注：L^(-1)[U]表示U的拉氏反变换，其他依次类推。

解题完毕。
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5楼2013-12-21 21:22:03
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