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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 关于期望一条定理的证明
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埃尔多安

银虫 (正式写手)

[求助] 关于期望一条定理的证明

请证明一下：如果X是连续型随机变量，它的概率密度是f(x)，若∫g(x)f(x)dx绝对收敛，则有：E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx。请问Y的概率密度函数怎么会与X的一样？书上说证明超出本书范围，特来向虫友求教，谢谢！！

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续。
1楼 2013-11-30 20:09:46
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埃尔多安

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by math2000 at 2013-12-01 21:25:10
楼主对题目的理解有点出入，X与Y的密度不一致，f(x)是X的密度，不是Y的密度。
若Y=g(X)的密度是fY(y)，则由期望定义为：E(Y)=∫yfY(y)dy
这样做的话，需要先求Y=g(X)的密度函数fY(y)，即求随机变量X的函数的密度， ...

嗯，我明白各自的概率密度，如果是以买一送一这种通俗的角度考虑，您所说的那个后面的方法简单之处易造成y乘以概率密度为f(x)所积出来的概率，我当初是因此对这种简单的方法表示费解。我想我明白了您的意思，基本的知识我还是知道的哦，请不用扼腕叹息了哦，谢谢！我有机会会去看测度论的，非常感谢您给我的推荐！开阔了眼界，就爱这样！！！谢谢！！

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续。
5楼2013-12-02 00:38:03
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summer9m

新虫 (初入文坛)
E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx并不是说Y和X的概率密度函数一样，我不太会用专门的数用于说，简单来说是这样的，
期望是相应的取值乘以它发生的概率，连续函数就是用积分的形式来计算，这个概念你可以仔细看书就能懂。
这里的g(x)就是对应那个概率取值。
我不知道是不是这点上你理解错了？还是书上说他们的概率密度是一样的？
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埃尔多安
2楼2013-11-30 20:36:36
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埃尔多安

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by summer9m at 2013-11-30 20:36:36
E(Y)=E=∫g(x)f(x)dx并不是说Y和X的概率密度函数一样，我不太会用专门的数用于说，简单来说是这样的，
期望是相应的取值乘以它发生的概率，连续函数就是用积分的形式来计算，这个概念你可以仔细看书就能懂。
这里 ...

嗯，g(x)是等于y。书上说的是所求变量乘以它相应的概率，我当初觉得Y的相应概率怎么会与f(x)积分后成为X的概率一致。这是我的理解不足之处。另外通过特殊案例理解了，但是它说这条性质同适用于多维，我想所求变量应该与给出的变量概率密度或者分布率这两者同维数吧？不知道这样是否猜想正确。烦劳都解释一下，谢谢！！！

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续。
3楼2013-11-30 21:12:04
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
埃尔多安: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 谢谢耐心回答以及热心推荐！！！ 2013-12-02 00:38:35
楼主对题目的理解有点出入，X与Y的密度不一致，f(x)是X的密度，不是Y的密度。
若Y=g(X)的密度是fY(y)，则由期望定义为：E(Y)=∫yfY(y)dy
这样做的话，需要先求Y=g(X)的密度函数fY(y)，即求随机变量X的函数的密度，然后再求积分，这样的话步骤比较繁琐。
而公式E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx可以不求Y=g(X)的密度，直接用X的密度函数f(x)积分即可。简洁一些。
二者相等的问题，其证明可以去查一下理科研究生的概率论书，最好是测度论的书。不过涉及的知识比较多。
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4楼2013-12-01 21:25:10
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