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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 二元函数偏导存在，是不是函数就连续
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drh007

铜虫 (小有名气)

[交流] 二元函数偏导存在，是不是函数就连续 已有30人参与

二元函数在一点处的x，y偏导都存在，那么函数在这一点是不是一定连续?

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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适者生存
1楼 2013-11-08 23:58:24
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

sdcyj72

金虫 (小有名气)
★
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引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-09 14:14:11
反证法：若f(x,y)在点（x0,y0)处不连续，则其在点（x0,y0)处的偏导数pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py肯定不存在；若pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py在（x0,y0)处均存在，则因为Pf(x,y)/Pl=Pf(x,y)/Px *Cosθ+Pf(x,y)/Py*Sinθ （θ ...

在一点处不连续，但偏导数却可以存在。如
(x,y)=(0,0)   f(x,y)=0
(x,y)not=(0,0), f(x,y)=xy/(x2+y2)
x2是平方的意思
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8楼2013-11-10 07:14:53
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rico2013

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
不一定，只能说明x和y方向连续，除了x和y的其他方向是不一定成立的，因此结论是不一定成立！

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18楼2013-11-11 11:16:10
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
偏导数存在与函数的连续性是两个不同的概念，两者之间没有必然的蕴含关系。
例1f(0,0)=0,f(x,y)=xy/(x^2+y^2)(x^2+y^2不等于零)
则f(x,y)在(x,y)=(0,0)不连续，但是关于x与y的偏导数都存在。
例2f(x,0)=0(y=0),f(x,y)=xsin(1/y)(y不等于零）
则f(x,y)在(x,y)=(0,0)点连续，但是在原点关于x的偏导与关于y的偏导都不存在。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
23楼2014-03-25 21:29:45
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修竹依米

木虫 (小有名气)
★
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楼上各位说的都很到位：
就二元函数而言
偏导数存在 函数在这点连极限都可能不存在
更不用说函数连续了

偏导数存在且连续时 则可以确保函数在该点连续
但是 函数在该点连续 也不足以保证函数在该点有偏导数 更不用说有连续偏导数

猜测楼主不是数学班底  之所以如此疑虑 是因为一元函数的极限 连续 导数 连续导数之间的关系是
前者对后者都是必要条件  也很容易接受认可

其实 一个生活中的物件也许有助于理解、消除疑虑：
蒙古帐篷式样的蚊帐 一般用十字交叉的撑杆
帐面就是函数表示的曲面 撑杆在床面的投影代表坐标轴
当光撑起撑杆的时候 显然 曲面是一个光架子 但是这个时候在交叉点 函数是有定义 无极限 连续自然也说不上了
只要撑杆是光滑的 自然 偏导数是有的
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27楼2014-11-04 12:11:51
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普通回帖

谁负韶华

新虫 (小有名气)
当然不是啦。反了。

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2楼2013-11-09 00:14:40
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weft

木虫 (正式写手)
★
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偏导数存在和连续性二者之间没有蕴含关系.
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3楼2013-11-09 04:19:19
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caoming_2013

木虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
还得偏导相等才可以

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4楼2013-11-09 10:26:23
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了一凡

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
不一定，还要对X、Y的二阶偏微分也存在才能说明连续。
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生前何必久睡，死后自会长眠。
5楼2013-11-09 12:04:06
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
反证法：若f(x,y)在点（x0,y0)处不连续，则其在点（x0,y0)处的偏导数pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py肯定不存在；若pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py在（x0,y0)处均存在，则因为Pf(x,y)/Pl=Pf(x,y)/Px *Cosθ+Pf(x,y)/Py*Sinθ （θ为l的方向矢量与x轴的夹角），则F(x,y）在点（x0,y0)处的任意方向的偏导数均存在。因此f(x,y)在点（x0,y0)处肯定连续（可导要比比连续严格的多。可导不但要求连续，还要求光滑）。
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6楼2013-11-09 14:14:11
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zch11

铁虫 (正式写手)
不一定
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不努力，一切都没有
7楼2013-11-09 15:53:01
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wave2010yhl

银虫 (小有名气)
两者没有关系！

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9楼2013-11-10 07:32:54
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longwenmuhuo

木虫 (正式写手)

元帅吧
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
貌似这两个没什么关系

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其实我也能说到做到
10楼2013-11-10 08:19:23
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