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fengweiche木虫 (小有名气)
浪子
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[求助]
求解一方程，急需各位大侠帮助
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dC/dt = a*C+b*C^n，a，b，n为常数，求C与t的关系，用t的表达式代表C, 多谢！ |
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peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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fengweiche: 金币+7, ★★★★★最佳答案, 非常感谢1 2013-11-14 20:09:48
fengweiche: 金币+7, ★★★★★最佳答案, 非常感谢1 2013-11-14 20:09:48
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解题过程： dC/dt=a*C+b*C^n=b*C*[C^(n-1)+a/b] dC/{C*[C^(n-1)+a/b]}=b*dt 令: 1/{C*[C^(n-1)+a/b]}=a1/C+{a2*C^(n-2)+...+an/[C*[C^(n-1)+a/b] 比较系数后可得：. a1=b/a, a2=-b/a, a3=a4=...=a(n-1)=an=0 b/a*dC/C--b/a*C^(n-2)*dC/[C^(n-1)+a/b]=b*dt b/a*dC/C-b/[a*(n-1)]*d[C^(n-1)+b/a]/[C^(n-1)+a/b]=b*dt b/a*lnC-b/[a*(n-1)]*ln[C^(n-1)+b/a]=b*t+A ,A为积分常数。 这就是C与t的函数关系。可惜的是只能写成隐函数的形式了。 解题完毕。 |
17楼2013-11-14 16:39:45
wurongjun
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感谢参与，应助指数 +1
fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:45
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fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:45
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C(t)=exp(-log((-b+exp(-a*t*n+a*t)*d1*a)/a)/(n-1)) 其中d1为任意常数! |
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fengweiche2楼2013-11-05 23:32:54
feixiaolin
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:59
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fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:59
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C'-a*C=b*C^n 改写：dC/[a*C+b*C^n]=dt，变形 dC/{C[a+b*C^(n-1)]}=dt {(1/a)/C -b/a*C^(n-2)/[a+b*C^(n-1)]}*dC=dt d{lnC/a-1/a*ln[a+b*C^(n-1)/(n-1)]}=dt lnC-ln{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=a*t+K, K=const. C/{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=exp[a*t+K]=K1*exp(a*t) K1=const. |
3楼2013-11-05 23:37:36
fengweiche
木虫 (小有名气)
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