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第二讲 正交试验设计
[教学目的与要求]
(1) (1) 理解正交试验设计是一种解决多因素试验的方案，其优点在于仅通过少量的试验就能获得大量的信息，从而作出决策，是一种在实践中值得推广的试验设计方法。
(2) (2) 了解有关正交表的概念和性质，学会选择合适的正交试验表进行试验设计，掌握无交互作用的正交试验设计的基本方法，了解有交互作用的正交试验设计的基本方法。
[教学重点和难点]
（1）教学重点：掌握如何进行正交试验设计的方法，主要是两大步骤：一.安排实验方案；二.试验结果的直观分析。
（2）教学难点：如何通过分析试验结果的出较优的试验方案。
[教学过程]
1. 一. 引入：在生产或科研中，我们所遇到的实际问题涉及的因素往往很多，如果考虑全面试验，即将这些因素各个水平的组合都至少做一次试验，则所需的工作量是很大的。例如，有10个因素，每个因素有三个水平，则全面试验至少需做 次，这么多的试验，一般来说，难以做到。因此需要考虑如何适当地安排试验，以减少试验次数，即如何进行试验设计。实践证明利用正交表来安排试验的正交试验设计是一种简单易行、节省人力物力的较好的试验设计方法，本节我们就学习这一方法。（约5-10分钟）
2. 二. 授新：
（1） （一） 正交表的概念和性质
1.正交表的概念：正交表是一种特制的表，一般的正交表记为 ， 是表的行数，也就是要试验的次数； 是表的列数，表示最多可安排的因素的个数； 是各因素的水平数。
2.正交表具有如下两个重要性质：
1 ① 每列中不同数字出现的次数相等。
2 ② 在任意两列中，将同一行的两个数字组成一个有序实数对，则每种有序实数对出现的次数相等。即用这种表格安排试验时，对任意两个因素来说都构成双因素的等从复全面试验，这又称为均衡搭配原则。例如在 中，有序实数对共有四种：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）它们各出现一次。
凡满足上述两条性质的表叫做正交表，常用的正交表，二水平的有 ，
和 ，三水平的有 ， ， 等（祥见书末附表）。
（2） （二） 利用正交表安排试验
下面举例说明如何安排试验以及如何分析试验结果。
[例题1] 为提高某种产品的产量（得率）选择了三个有关因素：操作方式、温度、洗涤时间，并选取水平如下。
设各因素无交互作用（不存在由于各因素搭配产生的效应）。
1. 1. 安排试验方案
（1）明确试验目的，确定试验指标，挑选因素，选取水平。
对于本例，通过分析研究，确定影响产量的因素是操作方式、温度、洗涤时间，分别用A,B,C表示。根据经验每因素各选三个水平，将因素水平列成上表。
（2）选用正交表，列出试验方案。
这里共有三个因素，每个因素有三个水平。三水平的表中以表 所需试验次数最少，并且最多可安排四个因素，故选用表 。这样，只需做9次试验，比全面试验的次数27次减少了18次。
将A,B,C 放置在表 的任意三列的表头上（本例放在前三列）。表中1，2，3列出现的水平编号对应于上表中的实际水平，不排因素的列称为空列（不排出）。
2. 2. 分析试验结果
试验结果的分析方法有二，方差分析法和直观分析法。这里只介绍直观分析法。
直观分析法的依据是一个参数的无偏估计的大小，在一定程度上反映该参数的大小。若我们希望指标越大（越小）越好，那末只要在每个因素选效应最大（最小）的水平即可。又，我们还希望确定因素对指标影响的大小，即因素的重要性。此时利用统计中的一个统计量极差——平均指标中的最大者与最小者的差，来反映因素的重要性。极差越大，说明该因素的水平改变时对指标的影响越大，这个因素就影响显著。由此可得因素影响的主次关系。综合以上可以找出若干较好的水平搭配，然后，再做进一步的试验，确定这些搭配中哪个更好。具体过程如下：
试验安排及结果分析表
因素（列号）
试验号 A操作方式
（1） B温度（℃）
（2） C洗涤时间（分）
（3） 得率
（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Ⅰ（1）
Ⅰ（1）
Ⅰ（1）
Ⅱ（2）
Ⅱ（2）
Ⅱ（2）
Ⅲ（3）
Ⅲ（3）
Ⅲ（3） 60（1）
80（2）
100（3）
60（1）
80（2）
100（3）
60（1）
80（2）
100（3） 15（1）
20（2）
25（3）
20（2）
25（3）
15（1）
25（3）
15（1）
20（2） 10.7
11.1
8.0
9.8
7.5
10.2
11.5
14.1
12.2
（1水平和） 29.8 32 35
（2水平和） 27.5 32.7 33.1
（3水平和） 37.8 30.4 27
（极差） 10.3 2.3 8
较优水平 3 2 1
因素主次 1 3 2
由表中容易得出，A3B2C1这个方案得率最高，从主次因素看应选择的方案还有A3B1C1或A3B2C2。这两个方案表中未出现，故应对这几个方案中做进一步试验选择更好的方案。
[例题2] 因课本介绍十分细致，自阅P230.例1。
[例题3] 次例属于有交互作用的正交试验设计。所谓有交互作用是指，在有些试验中，不仅因素本身对指标有影响，而且因素之间还会联合起来对指标产生作用。因素 与因素 的交互作用记为 。具体使用时，可查两列间的交互列表。
实施步骤为：
1 ① 安排试验方案：由于要同时考察因素和因素间的交互作用，安排试验时，应将每个因素各占一列，几个交互作用也各占一列。选择交互表时应特别注意。表头的设置有相应的规定，可查表解决。
2 ② 试验结果分析：有交互作用的试验结果分析与前述无交互作用的试验结果分析基本相同。不同之处在于如何选择方案上。当某一交互作用较重要时，即此二水平对指标影响较大时，应计算它们的平均效应，选择其中较好的搭配。最后综合评价选出方案。（此内容约需70-80分钟）
三.巩固练习
习题20-3的1、2题的（1）、（2）。（约10-15分钟）
四.课后练习与思考
1. 1. 作业题：P238习题20-3的3、4题。
思考题：能否对书中的例题或习题的结果分析部分换用方差分析的方法试做，如能做，比较两种方法的结论是否一致。
第二讲 正交试验设计
[教学目的与要求]
(3) (1) 理解正交试验设计是一种解决多因素试验的方案，其优点在于仅通过少量的试验就能获得大量的信息，从而作出决策，是一种在实践中值得推广的试验设计方法。
(4) (2) 了解有关正交表的概念和性质，学会选择合适的正交试验表进行试验设计，掌握无交互作用的正交试验设计的基本方法，了解有交互作用的正交试验设计的基本方法。
[教学重点和难点]
（1）教学重点：掌握如何进行正交试验设计的方法，主要是两大步骤：一.安排实验方案；二.试验结果的直观分析。
（2）教学难点：如何通过分析试验结果的出较优的试验方案。
[教学过程]
2. 一. 引入：在生产或科研中，我们所遇到的实际问题涉及的因素往往很多，如果考虑全面试验，即将这些因素各个水平的组合都至少做一次试验，则所需的工作量是很大的。例如，有10个因素，每个因素有三个水平，则全面试验至少需做 次，这么多的试验，一般来说，难以做到。因此需要考虑如何适当地安排试验，以减少试验次数，即如何进行试验设计。实践证明利用正交表来安排试验的正交试验设计是一种简单易行、节省人力物力的较好的试验设计方法，本节我们就学习这一方法。（约5-10分钟）
3. 二. 授新：
（1） （一） 正交表的概念和性质
1.正交表的概念：正交表是一种特制的表，一般的正交表记为 ， 是表的行数，也就是要试验的次数； 是表的列数，表示最多可安排的因素的个数； 是各因素的水平数。
2.正交表具有如下两个重要性质：
3 ① 每列中不同数字出现的次数相等。
4 ② 在任意两列中，将同一行的两个数字组成一个有序实数对，则每种有序实数对出现的次数相等。即用这种表格安排试验时，对任意两个因素来说都构成双因素的等从复全面试验，这又称为均衡搭配原则。例如在 中，有序实数对共有四种：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）它们各出现一次。
凡满足上述两条性质的表叫做正交表，常用的正交表，二水平的有 ，
和 ，三水平的有 ， ， 等（祥见书末附表）。
（2） （二） 利用正交表安排试验
下面举例说明如何安排试验以及如何分析试验结果。
[例题1] 为提高某种产品的产量（得率）选择了三个有关因素：操作方式、温度、洗涤时间，并选取水平如下。
设各因素无交互作用（不存在由于各因素搭配产生的效应）。
3. 1. 安排试验方案
（1）明确试验目的，确定试验指标，挑选因素，选取水平。
对于本例，通过分析研究，确定影响产量的因素是操作方式、温度、洗涤时间，分别用A,B,C表示。根据经验每因素各选三个水平，将因素水平列成上表。
（2）选用正交表，列出试验方案。
这里共有三个因素，每个因素有三个水平。三水平的表中以表 所需试验次数最少，并且最多可安排四个因素，故选用表 。这样，只需做9次试验，比全面试验的次数27次减少了18次。
将A,B,C 放置在表 的任意三列的表头上（本例放在前三列）。表中1，2，3列出现的水平编号对应于上表中的实际水平，不排因素的列称为空列（不排出）。
4. 2. 分析试验结果
试验结果的分析方法有二，方差分析法和直观分析法。这里只介绍直观分析法。
直观分析法的依据是一个参数的无偏估计的大小，在一定程度上反映该参数的大小。若我们希望指标越大（越小）越好，那末只要在每个因素选效应最大（最小）的水平即可。又，我们还希望确定因素对指标影响的大小，即因素的重要性。此时利用统计中的一个统计量极差——平均指标中的最大者与最小者的差，来反映因素的重要性。极差越大，说明该因素的水平改变时对指标的影响越大，这个因素就影响显著。由此可得因素影响的主次关系。综合以上可以找出若干较好的水平搭配，然后，再做进一步的试验，确定这些搭配中哪个更好。具体过程如下：
试验安排及结果分析表
因素（列号）
试验号 A操作方式
（1） B温度（℃）
（2） C洗涤时间（分）
（3） 得率
（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Ⅰ（1）
Ⅰ（1）
Ⅰ（1）
Ⅱ（2）
Ⅱ（2）
Ⅱ（2）
Ⅲ（3）
Ⅲ（3）
Ⅲ（3） 60（1）
80（2）
100（3）
60（1）
80（2）
100（3）
60（1）
80（2）
100（3） 15（1）
20（2）
25（3）
20（2）
25（3）
15（1）
25（3）
15（1）
20（2） 10.7
11.1
8.0
9.8
7.5
10.2
11.5
14.1
12.2
（1水平和） 29.8 32 35
（2水平和） 27.5 32.7 33.1
（3水平和） 37.8 30.4 27
（极差） 37.8-27.5=10.3 2.3 8
较优水平 3 2 1
因素主次 1 3 2
由表中容易得出，A3B2C1这个方案得率最高，从主次因素看应选择的方案还有A3B1C1或A3B2C2。这两个方案表中未出现，故应对这几个方案中做进一步试验选择更好的方案。
[例题2] 因课本介绍十分细致，自阅P230.例1。
[例题3] 次例属于有交互作用的正交试验设计。所谓有交互作用是指，在有些试验中，不仅因素本身对指标有影响，而且因素之间还会联合起来对指标产生作用。因素 与因素 的交互作用记为 。具体使用时，可查两列间的交互列表。
实施步骤为：
3 ① 安排试验方案：由于要同时考察因素和因素间的交互作用，安排试验时，应将每个因素各占一列，几个交互作用也各占一列。选择交互表时应特别注意。表头的设置有相应的规定，可查表解决。
4 ② 试验结果分析：有交互作用的试验结果分析与前述无交互作用的试验结果分析基本相同。不同之处在于如何选择方案上。当某一交互作用较重要时，即此二水平对指标影响较大时，应计算它们的平均效应，选择其中较好的搭配。最后综合评价选出方案。（此内容约需70-80分钟）
三.巩固练习
习题20-3的1、2题的（1）、（2）。（约10-15分钟）
四.课后练习与思考
2. 1. 作业题：P238习题20-3的3、4题。
思考题：能否对书中的例题或习题的结果分析部分换用方差分析的方法试做，如能做，比较两种方法的结论是否一致。
10.1. 正交试验设计
10.1.1 用正交表安排试验
在实际应用中，对于多因素多水平的试验，安排全面试验是不现实的。我们选择其中一部分组合，利用正交表安排试验，使得试验次数不多，但也能得到比较满意的效果。
正交表是一系列规格化的表格，每个表都有一个记号，如 ， 等，（见表10.1.1和表10.1.2）。以 为例， 表示正交表，9是正交表的行数，表示需要做的试验次数。4是正交表的列数，表示最多可以安排的因素的个数。3是因素水平数，表示此表可以安排三水平的试验。
10.1.1正交表 10.1.2正交表
列号
试验号 1 2 3 4 5 6 7 列数
试验号 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8 1 1 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 1 1
1 2 2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 1
1 2 1 1 1 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1
2
3
4
5
6
7
8
9 1 1 3 2
2 1 1 1
3 1 2 3
1 2 2 1
2 2 3 3
3 2 1 2
1 3 1 3
2 3 2 2
3 3 3 1
从表10.1.1和表10.1.2可见， 有9行，4列，表中由数字1，2，3组成； ，有8行，7列，表中由数字1，2组成。
正交表的特点：
（a）每列中数字出现的次数相同，如 表每列中数字1，2，3均出现三次；如 表每列中数字1，2均出现四次。
（b）任取两列数字的搭配是均衡的，如 表里每两列中（1，1），（1，2），…，（3，3），九种组合各出现一次；如 表里每两列中（1，1），（1，2），（2，1） 和（2，2）各出现两次。
这种均衡性是一般正交表构造的特点，它使得根据正交表安排的试验，其试验结果具有很好的可比性，易于进行统计分析。常用的正交表有二水平的，如 ， ， ， ；有三水平的，如 ， ；有四水平、五水平的，如 、 等，还有水平不等的，如 ， 等。
用正交表安排试验时，根据因素和水平个数的多少以及试验工作量的大小来考虑选用哪张正交表，下面举例说明。
例10.1.1 为提高某种化学产品的转化率（%），考虑三个有关因素：反应温度A（℃），反应时间B（min）和使用催化剂的含量C（%）。各因素选取三个水平，如表6.3.3所示。
表10.1.3转化率试验因素水平表
因 素
水 平 温度A 时间B 催化剂含量C
1
2
3 80
85
90 90
120
150 5
6
7
如果做全面试验，则需33=27次，若用正交表L9（34），仅做9次试验。将三个因素A，B，C分别放在L9（34）表的任意三列上，如将A，B分别放在第1，2列上，C放在第3列上。将表中A，B，C所在的三列上的数字1，2，3分别用相应的因素水平去替代，得9次试验方案。以上工作称为表头设计.再将9次试验结果转化率数据列于表上（见表10.1.4），并在表上进行计算。
表10.1.4 转化率试验的正交表
因素
试验号 反应温度A 反应时间B 催化剂含量C 转化率（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 80(1)
85(2)
90(3)
80(1)
85(2)
90(3)
80(1)
85(2)
90(3) 90(1)
90(1)
90(1)
120(2)
120(2)
120(2)
150(3)
150(3)
150(3) 6(2)
5(1)
7(3)
5(1)
7(3)
6(2)
7(3)
6(2)
5(1) 31
54
38
53
49
42
57
62
64
K1
K2
K3 141
165
144 123
144
183 171
135
144
k1
k2
k3 47
55
48 41
48
61 57
45
48
表中各列的K1,K2,K3值分别是对应因素第一,二,三水平的试验指标值之和。如因素A，K1=31+53+57=141，它是在九次试验中，所有A在第一水平（即80℃）时试验所得转化率之和。类似地K2=54+49+62=165和K3=38+42+64=144分别是所有A在第二水平（即85℃）和在第三水平（即90℃）时试验所得转化率之和。各列的k1,k2,k3分别是本列的K1,K2,K3分别除以3得到的平均转化率。如对A有K1=141/3=47, K2=165/3=55,K3=144/3=48。
在这个试验中，指标转化率是愈高愈好，经过直观比较各因素的K1,K2和,K3，我们看出，对因素A，最高平均转化率是55%，它出现在第二水平A2，对因素B，最高平均转化率是61%，它出现在第三水平B3。对因素C，最高平均转化率是57%它出现在第一水平C1。因此，从现在的九次试验看，最好的试验条件应是水平组合（A2，B3，C1），也就是温度85℃，反应时间150min，催化剂含量5%.需要注意的是，这个试验水平的组合，是已经做过的九次试验中没有出现过的。它是否真正符合客观实际，还需要通过试验或生产实际来验证。 |
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