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math2000铁杆木虫 (职业作家)
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[求助]
请教一个群论中的问题
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请问下面问题如何解答： 设G是非空集合，在G上定义一个满足结合律的二元运算：对G中任意的元素a和b，定义二元运算ab仍在G中。 若对G中任意元素x，G中存在唯一元素y，使得x=xyx.则G是群。 不知道如何证明单位元存在？？ 先谢了 |
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math2000
铁杆木虫 (职业作家)
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hank612
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【答案】应助回帖
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math2000: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 非常感谢，虽然我也证明出来了，但方法比你提出的方法啰嗦多了 2013-10-08 18:33:32
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1.) When x=xyx, then x=x*yxy*x, by uniqueness, y=yxy. 2.) Let a=xy, clearly a^2=a. Assume there is another b such that b^2=b, we want to show a=b. [ Consider ab and c such that ab*c*ab=ab. Then ab* bc*ab=ab, so bc=c. Similarly, ab* ca*ab=ab implies ca=c. Now from c* ab*c=c, it gets c*b*c=c, thus ab=b. meanwhile, c*a*c=c, so ab=a too. Thus a=b. ] 3.) This a=b is the identity element for the group. We do not assume finiteness on the set G. |
5楼2013-10-08 03:58:33
