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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 若P1,P2是投影矩阵（对称幂等）且P1-P2非负定,则P1P2=P2P1=P2
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楼1970-01-01 08:00:00
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shy1992331

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xxka at 2013-09-20 23:45:50
P1,P2是投影矩阵（对称幂等）,则存在正交阵T以及对角元素为1、0的对角阵A1、A2使得
T·P1T=A1；T·P2T=A2；所以T·（P1-P2）T=A1-A2，且A1-A2非负定，即A1-A2为角元素为1、0的对角阵
所以 A1A2=A2，进而可证结论

想问一下为什么P1，P2可以同时对角化啊？谢谢了
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5楼2013-09-27 21:04:28
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xxka

木虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
P1,P2是投影矩阵（对称幂等）,则存在正交阵T以及对角元素为1、0的对角阵A1、A2使得
T·P1T=A1；T·P2T=A2；所以T·（P1-P2）T=A1-A2，且A1-A2非负定，即A1-A2为角元素为1、0的对角阵
所以 A1A2=A2，进而可证结论
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2楼2013-09-20 23:45:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
我不明白P, Q 为什么可以同时对角化(当不知道P, Q 可交换的时候).

设 0 <= ( (P-Q) Qx, Qx ) =( (P-I)Qx, Qx )
          = - ( (I-P) Qx, Qx) = - || (I-P) Qx||^2
因此 (I-P)Q =0. 即 Q=PQ.

同理, 0 >= ( (Q-P) (I-P)y, (I-P)y ) = (Q(I-P)y, (I-P)y) = ||Q(I-P) y||^2  
可推出 Q(I-P)=0, 即 Q=QP.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2013-09-21 00:41:02
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
任意对称矩阵都是可以酉对角化的。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
4楼2013-09-21 12:28:43
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