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tarcy金虫 (正式写手)
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[求助]
求助高手 解一个积分方程
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求解磁球的震动方程，里面有一个积分表达式不太明白怎么得出的。 如图，第一行方程为被积项表达式，左端为φ关于时间t的倒数项，右侧表达式包含变量t和φ的表达式。 第二行方程为一个积分项，同时求极限。 请高手帮解方程，谢谢。  积分公式.jpg |
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2楼2013-09-06 18:43:51
tarcy
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【答案】应助回帖
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首先做变量替换 x=2(Bt- phi), a=A/B. 那么 dx /dt = 2B -2 (A* Sin(x) ), 即 dx/ ( 1-a*Sin(x) ) = 2B* dt. 这是分离变量x, t. 积分两边, 右端是2Bt +C, 其中C是任意常数. 左端用万能公式 sin(x)= 2*tan(x/2) / (1+tan^2(x/2)), 被积函数可写成 dx/ ( 1-a*Sin(x) ) = sec^2(x/2) dx / [ 1+tan^2(x/2) -2a*tan(x/2) ] = -2 * d(a-tan(x/2)) / [(1-a^2) + (a-tan(x/2))^2] 这是一个标准积分, 关于arctan函数的, 所以左端是 -2/ sqrt(1-a^2) *arctan[ (a-tan(x/2)) / sqrt(1-a^2)]. 因此 tan(x/2) -a = sqrt(1-a^2)* tan(B*sqrt(1-a^2)*t +C). 忐忑地问一下楼主, 是不是 有|A| < |B|的限制条件? 当t趋于无穷大时, sqrt(1-a^2)* tan(B*sqrt(1-a^2)*t +C)是周期性的无界的振荡函数, 因此, tan(x/2)也是振荡的, 没有极限. 因此不能用L'Hospital 法则求极限 int_{0}^T sin(x) dt / T. 其实, sin(x(t) )基本上是个周期函数, 所以楼主要求的极限等于一个周期上的积分值, 具体来说就是, int_{- pi/2}^{pi/2} 2*( a+sqrt(1-a^2)*tan(theta) ) / [1 + ( a+sqrt(1-a^2)*tan(theta) )^2 ] d(theta). 经过一些杂七杂八的化简后, 要求计算Integrate[ y / [(1+y^2)(1-a^2+(y-a)^2)], {y, -infinity, infinity} ] Mathematica软件计算结果为 -Pi/ (2a), 所以极限值等于 -Pi* sqrt( (B/A)^2-1). 答案有些诡异, 楼主看看符号有没有 问题, 是否与预期的相符, 等等. |
4楼2013-09-07 01:53:32
hank612
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哎呀好象Mathematica软件计算结果有问题, 那个负的答案是在某种条件下得到的, http://www.wolframalpha.com/inpu ... 2C+infinity%7D+%5D+ 我看了一下原函数表达式, 觉得还是这个答案更合理: Pi* [ B/A - sqrt( (B/A)^2 -1 ) ]. 楼主可以代入一些参数, 验证合理性. |
5楼2013-09-07 02:26:05
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