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youken282铁虫 (小有名气)
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[求助]
关于广义相对论，有很多概念问题想请坛友释疑。
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本人目前正在了解时间传递和相对论大地测量方面的问题，涉及到广义相对论的理论知识，因此也阅读了广义相对论方向的一些文献，可是限于本人微分几何知识欠缺，且对相对论的了解只限于狭义相对论，因此有很多概念和公式都不明白，在此想向大家讨教。 主要是以下概念存在疑问： 1、张量的逆变和协变有什么物理几何意义？很多微分几何的书介绍张量逆变和协变的概念都是摆出公式，我本人分析思维差，而几何思维比较好，所以很多数学概念要结合其背后的几何或物理意义才能有所体会，但很难找到关于逆变张量和协变张量的叙述，所以想请大家谈谈自己对逆变和协变的理解（从物理或几何意义上谈，不是给个逆变或协变的公式和定义就完了，公式和定义书上都有），另外，张量的逆变和协变之间存在联系吗？（或者说是两个独立的变换？）逆变和协变是张量的固有属性吗？（即只有同时存在逆变和协变的才能称为张量？） 2、广义相对论中有个“事件”概念，这个概念感觉很抽象，如何定义事件？事件要具备哪些要素？一辆车从A点开到B点，车在A、B两点时是一个事件的两个端点还是两个事件？一个时空参考系中的两个事件的例子是什么？ 3、原时（proper time）、坐标时（coordinate time）、静长度（proper length），坐标距离（coordinate distance），这些概念难以理解，有没有比较方便的理解方法？原时定义为tao=ds/c，ds包含空间坐标吗？静长度定义为l=ds，ds包含时间坐标吗？什么情况下我们测量的是原时和静长度，什么情况下测量的又是坐标时和坐标距离？ 目前困扰我的主要是这几个疑问，希望有坛友能帮忙。本人积分不多，见谅！ [ Last edited by youken282 on 2013-8-31 at 23:45 ] |
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youken282
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
夕阳西下: 如果曲线是一个粒子的轨迹，那么逆变矢量是速度v，协变矢量是动量p。能否解释一下速度v与动量p是怎么定义的吗？ 2013-09-02 09:34:41
youken282: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-09-03 10:16:50
感谢参与，应助指数 +1
夕阳西下: 如果曲线是一个粒子的轨迹，那么逆变矢量是速度v，协变矢量是动量p。能否解释一下速度v与动量p是怎么定义的吗？ 2013-09-02 09:34:41
youken282: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-09-03 10:16:50
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对于楼主的有些疑惑，比如事件、原时等，在狭义相对论中就已经是重要的概念了。 相对论主要是将时间和空间作为一个四维连续统来处理，一个事件其实就是时空点（t，x）。我们还需要测量两个事件的间隔，于是需要度规，dτ^2=c^2dt^2-dx^2，定义的是狭义相对论的度规。原时τ就是相对某一运动物体静止的参考系下测量的事件间隔，如果一个物体是静止的，那么原时是ct，如果它运动，而观测者依然静止，那么就需要考虑对dτ进行积分。proper length与proper time应该是一样的，只是叫法不同。坐标时和坐标距离那就是t和(x-x') ^2了。当然这些都是狭义相对论的部分。广义相对论无非是引入一般的度规，即考虑了非惯性参考系（等效于引力），上面的概念意义几乎不变。 至于协变、逆变张量，这里涉及到微分几何的东西。比如逆变矢量，空间里的一条曲线，我们可以在每一点做切线，这些切线实际上就是切矢量，我们可以用dx/dt，来表示，当然x是n维空间的坐标，t是曲线参数。除了这个，还存在另外一类矢量，即协变矢量，比如空间中有一族曲面，简单的例子，比如球面波，一层一层的，而这一层一层的球面波有着一致的法向方向，而这个法向方向其实就是法矢量。如果球面波用f(x)=c，c是常数来描述，那么法矢量就是f的梯度。 事实上，逆变、协变矢量是紧密联系在一起的。在曲线的例子中，如果曲线是一个粒子的轨迹，那么逆变矢量是速度v，协变矢量是动量p。在球面波的例子中，协变矢量是波失k，逆变矢量是半径r。它们的主要联系体现在它们的标量积上，pv的积分是量子力学中常用的，kr在球面波中更是常见。 对于协变、逆变矢量有个理解之后，张量也就容易了。 我的解释可能有些随意，希望对LZ有所帮助。 |
4楼2013-09-01 10:09:08