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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 函数列极限问题
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08jmliu

新虫 (小有名气)

[交流] 函数列极限问题

如果f_{n}（x）为[a,b]上连续函数列。在x\in [a,b] 是都有
lim_{n} f_{n}(x)=0.
那么是否有
lim_{n} sup_{[a,b]}f_{n}(x)=0 ?
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1楼2013-08-29 10:54:35
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daiben06

金虫 (初入文坛)
★
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不是的，所给的条件只能说明函数列点态收敛。
而所给出的结论需要函数列一致收敛。显然不是的，一致收敛需要函数列的范数收敛到0.
反例和详细的介绍数学分析的书上面有很详细的介绍。
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6楼2013-09-01 20:51:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
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逐点收敛是很弱的条件，应该得不到一致收敛的结果。

你考虑一列函数fn.
f(0)=f(2/n)=f(1)=0, f(1/n)=1. 其它地方线性。  
它们满足你的要求， 但lim sup =1.
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2楼2013-08-29 11:19:49
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zhouxq12

木虫 (小有名气)
★
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应该是的，f_{n}（x）为[a,b]上一致连续函数列。
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4楼2013-08-31 09:46:34
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ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)
★
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f_n(x)=x^n, x\in [0,0.5]
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5楼2013-09-01 16:43:21
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