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touchhappy

金虫 (著名写手)

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[交流] （技术贴）散射理论介绍已有23人参与

为了活跃论坛气氛，打造小木虫特别是高分子版的高端作品，同时也希望借此督促自己学习，偶决定在业余时间写一系列的技术贴，希望能够覆盖高分子物理常见的应用领域，为徘徊在理论大门门口或者止步不前的童鞋提供一些有益的思想与工具。
本系列的作品与之前偶的文章十分不同，如果对偶之前行文风格不太了解的童鞋，可以看看下面两个帖子
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=4067788&fpage=1
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6159817&fpage=1
      这未来这套系列文章中（包括本文），偶决定不再采用闲聊的方式，而是采用严格的物理思考+数学论证的方式，希望能够给大家提供掌握这一领域入门的所有知识，但语言依旧会保持轻松愉快，避免给大家造成太大的心理压力，大家很快会在后续的阅读中发现这种转变的端倪。在阅读过程中，偶强烈建议大家手边放着纸和笔，时不时的演算一下，否则你真的很难从中学到什么东西。偶希望这个帖子不会流入泛泛，而是能够对你知识完备起到一定的帮助作用。
   偶会用最通俗的语言来讲解所有的知识，希望对这一领域完全陌生的童鞋，在看完偶的文章之后，也会对这一领域有一个清晰的理解（至少在概念层次上，如果数学上的技术对你来说很困难的话。但通常说来，偶只假定你有了微积分，线性代数和热力学的基础知识）。我不认为一个智力正常的人会有某些东西拼命学也学不会，不会的原因只有两种，对方教的不好，或者自己没有认真学。我希望这种尝试能取得成功，至少是前一个因素。在偶的文章中，你可能会看到一种完全不同的理解方式，也许，不同的视角对自身的学习是大有裨益的。
   这项工作是一门长期而艰巨的任务，考虑到完备性，我会把一个主题打散成好几个子题目来写，可能中途会更新的比较慢，因为偶希望所有的人都能跟的上来，所以我会不厌其烦的用最明白的语言来描述，同时也会考虑到新手在自学中会遇到的种种困难，都会在文中一一罗列。排版是一项艰巨的挑战，因为论坛没有公式编辑的功能，偶可能不得不采用其他的办法来完成。
   开场白先写到这里吧，以后想起什么再来补充，第一个主题之所以选择这个题目，是因为理解散射的概念对于掌握其他的技巧非常重要，同时，散射技术也是了解物质结构的基本手段之一，不管因为哪一点，从这个角度切入，我想是非常合适的。

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吃货萌萌哒！！

1楼 2013-08-24 12:34:15

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nightwalker

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★
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纸笔已经备好静待楼主开讲

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奇文共欣赏，疑义相与析。

8楼2013-08-24 14:43:00

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touchhappy

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数学准备傅里叶变换(Fourier Transform)
      要说到傅里叶变换(简称F.T.),那么首先要从傅里叶级数(Fourier Series,简称F.S.)谈起。F.S.的来源，从概念上来讲非常的简单，它的基本想法是这样的：假设我现在手头上有一个周期函数f（x），比如说周期为2π，现在我想把它做展开（例如展开成一些我们比较熟悉的函数形式以便处理），该怎么做呢？一个自然的想法是，如果我找到了所有周期为2π的函数，把他们做线性叠加，也许就可以表示f（x）了。而在常见函数中，sin（nx）和cos（nx）{其中n=0,1,2,3…}都是周期为2π的函数，是我们很熟悉的，而且非常易于操作（例如进行微分积分等运算）。于是，一个周期为2π的函数，在形式上便可以写成如下的模式：

其中等号右边的打头项之所以除以2，纯粹是为了后面推导出的公式好看而已，当然你也可以完全不这样做，代价是在后面的公式中都会出现2这个因子。要注意的是，这个表达式只是在形式上给出了一个关于f（x）的表示，至于右边的级数展开究竟能不能收敛到f（x），这在目前还是不知道的，我们会在下文中予以讨论。
在这里需要介绍几个重要的三角函数关系式

这几个公式都是很容易验证的，用高中数学中的积化和差公式就可以得到。并且借助这几个三角函数表达式，我们可以很容易求出F.S.中的系数。

但问题是这些关系式背后的内涵是什么？事实上，这些积分的关系式可以被看成是内积的定义！！
为什么这么说呢？好吧，让我们先看一下什么叫做函数~~

      以1D为例,函数其实是可以看成一系列点的集合,而每一个点,都可以用一个number来刻画。例如对于函数f（x），如果我们给了一个自变量x1,那么对应的函数值为f1,如果再给一个自变量x2,那么函数值为f2,如此等等。现在我们把所有的函数值都收集起来，但是用一个特别的记号（f1，f2，f3，…）来标记，从中看到，只要遍历了所有的点（当然点有无穷多），这就我们的函数f（x），也就是说，函数可以用无穷多个有序的数来表示（所谓有序，是指有一定的次序，即任意两个数的位置不能交换，否则就不是原来的函数了）。再回想一下向量的定义，aha~~，n维向量不也是用n个有序的数来表示的吗？比如一个3D向量（x，y，z），不就是用x,y,z三个有序的数来表示的吗？
于是我们马上意识到，对函数可以有一个全新的看法，函数是一个无穷维的向量！
于是这样一来，事实便明朗起来，例如我们考察f（x）g（x）的积分，这个积分按照积分的定义可以被写成如下的形式：

注意到[…]中的…，恰好是向量内积的定义，之所以要在最后乘上一个无限小Δx，纯粹是因为如果当取得函数点足够多时，…一定会是无穷大（发散），这时候乘上一个无限小，才能保证积分收敛。因此，两个函数乘积的积分，可以看成线性代数中的内积，而每一个函数，都可以被看成是一个向量！
至此，我们可以说，从上述三角函数关系式中，我们可以得出这样的结论，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…都可以被看成向量，而由{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}所构成的集合，可以看成是线性空间中的一组基底（basis），而这组基底本身是正交的！
再比对F.S.的表达式，于是乎，f（x）可以被看成是对正交基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}的线性展开，而F.S.的系数就是在那个基上的投影。
到这里，F.S.已经被解释清楚了：仅仅是选择合适的正交基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}，之后对其做展开，展开的系数可以看成是在该基向量方向上的投影。{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}可以被看成是函数空间中的笛卡尔直角坐标系。
但情况到这里并没有结束，一个非常严重的问题是，基底是否是完备的。这个问题很重要，例如对于一个三维的向量，如果不小心取了一个二维的基底，当然也可以展开，但是展开后的结果不会再和原来的结果相等（用级数的语言便是所谓的不收敛）。这也是狭义相对论晚于牛顿几百年之后才发现的原因，因为人们把物理量总是三维空间中展开，事实上物理量是四维的，即（x，y，z，ict），所以选择正确的基底非常重要，于是很有必要考察一下我们选择的基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}究竟是不是完备的。
到这里有必要跟大家梳理一下思路：我们之前是对函数f（x）做展开，但是展开的系数事实上又可以用f（x）表示出来，那么我们的问题是，一旦把系数的表达式重新带回到f（x）的表达式中，会不会得到f（x）自己呢？
这种逻辑听起来有点怪异，好像是忙活了一圈之后又回到了起点，凭直觉这种代换总会回到自身，其实不然。这是一个非常关键的想法，因为这是检验基底完备性的一种手段。即如果基底是完备的，经过这样一个操作以后，函数会再次回到自己（因为完备的基底意味着在展开中没有漏掉任何信息，当重组之后得到的便是自己本身）。这在数学上其实是要求代入系数表达式后，所得到的的Kernel function是Dirac-delta function。至于什么是Kernel函数会在证明中提及。完备性证明如下：（这下面的图片有点不清楚，我把原版的作为附件上传了，下载以后可以放大，看到更清晰的图）

完备性证明的最后一个等式，也可以看成是一个向量内积的定义。从这个角度上来看，Dirac-delta function可以被“不太严格”的看成是一个无穷维的单位矩阵（identity），所谓不太严格，是指其对角线上的元素并非1，而是无限大，但非对角线上的元素依旧都是0。之所以对角线上的元素是无穷大，因为Dirac-delta function总是与积分相伴随出现（否则结果就会发散），而积分会乘上一个无限小，正好和Dirac-delta函数中的无限大消掉以保证最后积分是收敛的。
   以上推导仅仅是以周期为2π为例进行说明的，当然可以很容易推广成周期为2L的情况，请大家自行完成~~
   但从应用角度来讲，从中导出的结果却并不见得好用，人们更常用的是complex form，下面就把sin和cos的展开式改写成复数展开的形式。所有的技巧非常简单，仅仅是欧拉公式。

   从结果中我们可以看到，一个函数f（x）可以用两种不同的方式展开，即exp（inx）或者exp（-inx），这是很显然的，因为exp（inx）或者exp（-inx）可以被看成两组展开的基底，他们都是正交完备的，只是展开的系数（投影）不同而已。注意到最后的表达式其实是非常的对称，f（x）和Cn差别仅仅出现在指数上面的正负号。以后我们会通过简单的argument将这种讨论推广成为F.T.。此时Cn通常用另外的记号F（w）来表示，代表一个函数做了傅里叶变换后的结果。

][ Last edited by touchhappy on 2013-8-24 at 16:29 ]

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