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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求解导函数的连续性问题
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zhouwensmile

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 求解导函数的连续性问题

如图所示：f(x)在[a,b]连续，（a,b）内可导，x0在（a,b）上

如果导数的定义式可以用拉格朗日公式改成如图形式的话，不就等同于说函数在一点可导，那么其导函数一定连续吗？
以上如果是错的，那么变形到底哪里出错了？
求解导函数的连续性问题
201215u3uuufxt3mmxgu1e.png
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思考之后努力
1楼 2013-08-20 19:37:02
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zhouwensmile: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 简洁明了，醍醐灌顶 2013-08-21 07:18:21
zhouwensmile: 回帖置顶 2013-08-21 07:18:56
同样的问题有人换了一个方式问过, 我做了回答, 这是学了微分中值定理之后很多人都会问的一个问题. 你看这里
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=5793455&authorid=2161851
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14楼2013-08-21 04:37:43
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普通回帖

feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
方向问题。极限存在推出的可导，你这儿由可导出发，向右推就出问题了。
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2楼2013-08-20 21:00:07
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zhouwensmile

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-08-20 21:00:07
方向问题。极限存在推出的可导，你这儿由可导出发，向右推就出问题了。

但是具体问题在哪里呢？变形全部是等号传递的，看不出任何的问题

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思考之后努力
3楼2013-08-20 21:31:32
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

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不同意二楼的说法。如可导，左右导数都存在，且相等。所以方向不是问题。
但lz的猜测不正确，给个反例 f(x) =x^2*sin (1/x) 在x=0处可导，但 x-> 0,  f'(x)  没极限。
lz的问题出在，中值定理只是说有一点的导数满足关系，但不是说中间的所有导数值都趋近于 (f(x)-f(x0))/(x-x0)。
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4楼2013-08-20 21:33:39
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你的最后一个等号是由中值定理得到的；
这里的ksi是存在x_0和x之间的，但是他的取值和你的x_0以及x相关。
但是连续的定义是对于任意的ksi，这个极限都要等于函数在x_0的导数值；
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5楼2013-08-20 21:41:04
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-20 21:41:04
你的最后一个等号是由中值定理得到的；
这里的ksi是存在x_0和x之间的，但是他的取值和你的x_0以及x相关。
但是连续的定义是对于任意的ksi，这个极限都要等于函数在x_0的导数值；

或者这么说：每给定一个逼近于x_0的数列x，都存在一组逼近于x_0的ksi，使得f‘(x)在ksi的取值都逼近于f'(x_0)；但是并不是你任意给定一组逼近于x_0的ksi，都有f'(ksi)-->f'(x_0)
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6楼2013-08-20 21:47:34
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谁负韶华

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
对于x与x0我们并不能准确的知道ξ的值，当x与x0变化时，ξ变化是不规律的不连续的，因此不能得出你的结论。

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7楼2013-08-20 21:48:41
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zhouwensmile

铁杆木虫 (著名写手)
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7楼: Originally posted by 谁负韶华 at 2013-08-20 21:48:41
对于x与x0我们并不能准确的知道ξ的值，当x与x0变化时，ξ变化是不规律的不连续的，因此不能得出你的结论。

但是变形上有什么具体问题没有呢？

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思考之后努力
8楼2013-08-20 22:06:11
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zhouwensmile

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-20 21:33:39
不同意二楼的说法。如可导，左右导数都存在，且相等。所以方向不是问题。
但lz的猜测不正确，给个反例 f(x) =x^2*sin (1/x) 在x=0处可导，但 x-> 0,  f'(x)  没极限。
lz的问题出在，中值定理只是说有一点的导 ...

但是随着X→X0,也会产生无限个ξ，这个没有什么问题吧

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思考之后努力
9楼2013-08-20 22:11:31
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zhouwensmile

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-20 21:47:34
或者这么说：每给定一个逼近于x_0的数列x，都存在一组逼近于x_0的ksi，使得f‘(x)在ksi的取值都逼近于f'(x_0)；但是并不是你任意给定一组逼近于x_0的ksi，都有f'(ksi)-->f'(x_0)...

我就是不明白为什么突然用他拉格朗日公式就不行了呢？拉格朗日公式为什么就不能用？

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10楼2013-08-20 22:12:51
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