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水环境

铜虫 (初入文坛)

[求助] 付出我所有的金币求一个微分方程，成功后发金币

yy''+(y')^2=a+byy'+cy，当x=0时，y=y'=0.求解以上微分方程，写成y与x的隐函数也可以，请写出详细过程。
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1楼 2013-08-15 15:21:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
水环境: 金币+1, ★有帮助, 非常感谢！ 2013-08-16 08:06:07
这不是答案.

因为方程不显含x, 所以用标准替换 p=y', 即 p/dy =1/dx.
于是原方程写成:
d(yp)/dx = a + byp +cy, 或者说 d(yp)/dy * p = a +b(yp) +cy. 令w=yp, 要解 dw/dy = (a+cy)/w +by. 可惜我无法解该方程, 留待高手出马.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-08-16 07:20:48
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我看了看，好像隐式函数姐不太容易。我搞了个级数解，不知是否满足要求。
付出我所有的金币求一个微分方程，成功后发金币
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付出我所有的金币求一个微分方程，成功后发金币-1
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付出我所有的金币求一个微分方程，成功后发金币-2
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付出我所有的金币求一个微分方程，成功后发金币-3
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水环境
3楼2013-08-16 18:59:13
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华丽的飘过

版主 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Mathmatica的NDSolve命令，给出具体的a，b，c，可以顺利求出数值解来，（精度一般很高）如果你需要，我可以帮你编程。记住是数值解哦，不是解析解
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4楼2013-08-16 23:59:34
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水环境

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 华丽的飘过 at 2013-08-16 23:59:34
Mathmatica的NDSolve命令，给出具体的a，b，c，可以顺利求出数值解来，（精度一般很高）如果你需要，我可以帮你编程。记住是数值解哦，不是解析解

我需要的是解析解，不过还是很谢谢你！
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5楼2013-08-17 11:13:51
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水环境

铜虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-16 18:59:13
我看了看，好像隐式函数姐不太容易。我搞了个级数解，不知是否满足要求。

快照8.jpg

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快照7.jpg
...

太谢谢了，不过Eq.（46）和Eq.（47）相互包含对方的参数，这里能否再简化一点呢？先送一朵红花，待公式完善后再重谢！
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6楼2013-08-17 11:37:31
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水环境

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-16 18:59:13
我看了看，好像隐式函数姐不太容易。我搞了个级数解，不知是否满足要求。

快照8.jpg

快照5.jpg

快照6.jpg

快照7.jpg
...

另外，原方程的a、b、c都不为0的。这是一个实际应用的方程。
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7楼2013-08-17 11:39:44
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by 水环境 at 2013-08-17 11:37:31
太谢谢了，不过Eq.（46）和Eq.（47）相互包含对方的参数，这里能否再简化一点呢？先送一朵红花，待公式完善后再重谢！...

首先，Eq.（46）只用到 delta(n-1), delta(n) 用到 gamma(n),所以不是“相互包含对方”，请证实这一点。

其次，a=0 从你原始的方程 yy''+(y')^2=a+byy'+cy 带入 y'=0, y=0，很容易直接验证。要么，你的条件  y'=0, y=0 有问题，要么 a=0.
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8楼2013-08-17 12:35:25
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水环境

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by pippi6 at 2013-08-17 12:35:25
首先，Eq.（46）只用到 delta(n-1), delta(n) 用到 gamma(n),所以不是“相互包含对方”，请证实这一点。

其次，a=0 从你原始的方程 yy''+(y')^2=a+byy'+cy 带入 y'=0, y=0，很容易直接验证。要么，你的条件  y' ...

看来是我弄错了，那就是当x=0时，y=0，则有y'=a^0.5,需要用此初始条件，方程yy''+(y')^2=a+byy'+cy不变。
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9楼2013-08-17 16:44:22
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defa2001

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
令p=yy'，则方程即   p'=a+bp+cy，两边关于x求导得  p''=bp'+cp，这是关于p的二阶常系数齐次微分方程，即可求得p，而由前述，p=yy'=0.5（y^2）'，从而可得y的表达式，其中的初值条件可由计算过程得到
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迷茫中
10楼2013-08-17 18:28:03
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