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水环境

铜虫 (初入文坛)

[求助] 求一个公式的积分

求yy''+(y')̇^2=ay的积分，谢谢
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1楼 2013-08-14 15:09:13
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jevonszou

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个公式的积分？
不明白
这不是微分方程吗？
求解微分方程怎么较求公式的积分呢？
微分方程你参考一下书吧
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2楼2013-08-14 15:23:57
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B12050913

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
令 y'=p,则 y''= pdp/dy,
yp dp+(p^2-ay)dy=0,
利用积分因子可以算

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2013-08-14 15:26:26
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zhangqi1989

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这是常微分方程：令y'=p,y''=dp/dx=(dp/dy)·(dy/dx)=pdp/dy;
原方程化简为pdp/dy+p^2/y=ay;
这里要a进行情况讨论，我只做a=0的情况，a不为0有点复杂：
当a=0时，化简为pdp/dy=-p^2/y,即dp/p=-dy/y，所以lnp=-lny+lnC1
py=C1，将p带人，即ydy/dx=C1，即ydy=C1dx,解得y^2=C1x+C2,C1,C2均为常数。
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4楼2013-08-14 15:46:26
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
2楼和3楼的先期工作启发了我。我的解是这样的，但是最后的积分好像需要椭圆函数之类。
求一个公式的积分
快照4.jpg
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5楼2013-08-14 20:04:17
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B12050913

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

积分因子为 y,变为
py^2 dp+p^2 y dy=ay^2 dy
d(1/2•p^2•y^2)=d(1/3•ay^3)

(py)^2=2/3•a•y^3+C

以下一致。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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6楼2013-08-15 09:33:29
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