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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 一个椭圆型偏微分方程的数值解
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金虫 (正式写手)

[求助] 一个椭圆型偏微分方程的数值解

最近课题中需要求解一个二阶椭圆型偏微分方程，含有2个纽曼边界条件，我查找各种资料、算来算去，越弄越晕，希望数学专业的虫友们从数学角度给些专业的指点指点，形式如附件中的方程到底该怎样才能求得准确的数值解，具体方程信息详见附件，还望给些具体的指点，十分感谢！
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  • 附件 1 : 控制方程及边界条件.docx
    • 2013-07-26 15:35:47, 21.1 K

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1楼2013-07-26 15:42:14
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2013-07-26 16:19:34
我记得我回答过你这问题啊
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=5926397
椭圆形方程由于有gauss定理的约束，一般不能都给Neumann边界，除非你的边界给的正好和源项积分一致。这一点，我在前贴中已经说明了。 ...

我记得您的回复十分感谢，回去也翻阅了一些资料，您说的“除非你的边界给的正好和源项积分一致”这个条件应该是满足的，这个条件对应我体系的物理意义是电荷守恒条件。另外，我查阅了很多文献，该方程的控制模型就是含有2个纽曼边界条件，由于不是数学方面的期刊所以都没说是如何求解的，只是给出了方程和条件
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3楼2013-07-26 16:30:56
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金虫 (正式写手)
好多数学方面的书都说此类方程是无解或多解，可是文献里给出的就是这个类型的方程，我现在是十分抓狂，求指点啊。
下图出自文献中Table I
E. Prada et al. Journal of The Electrochemical Society 159, 9 (2012) A1508-A1519.
一个椭圆型偏微分方程的数值解
文献中控制方程.png
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4楼2013-07-26 16:36:16
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金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by pippi6 at 2013-07-26 16:50:53
另外，如果是数值解，比如平面差分，可以用5点格式的差分方程做SOR，然后每次迭代平均一下，把平均数保持在一个固定水平，解决电势的常数任意性问题。但不可以用直接法。这样，也就解决了数值不稳定的问题。所以，物 ...

十分感谢您提供的帮助！我需要解的是一维问题，现在是否可以这样认为：源项积分等于边界的条件成立，我对控制方程进行有限差分的离散，然后进行迭代，就可以求得定解了？另外，对迭代方法有要求吗，是必须用SOR还是简单迭代就可以？

另外还有一个问题，该方程为描述电池内固相活性材料电势的方程，该电势除了受到j(x,t)影响，材料本身也具有一定的电势，尤其内部Li离子的含量决定，即使j(x,t)=0，电势也不为零，和一般的导体还不太一样，我是不是需要在每一时刻都根据Li离子的含量为电势赋予初始值？
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10楼2013-07-27 08:56:48
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金虫 (正式写手)
内容已删除
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11楼2013-07-27 09:06:16
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by miliyin at 2013-07-26 21:43:00
椭圆形方程一般不能都给Neumann边界~~~~~~

文献中确实就是给你的双纽曼条件，本来不是数学专业的功底就不太好，平时查书只能查到第一类边界条件的解法，我看的化学类的文献都不提这个解法的问题，已经被这个问题卡了很久了，您要是知道如何处理或者有相关资料还望帮忙啊，谢谢！
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12楼2013-07-27 09:09:19
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by arising2010 at 2013-07-26 19:28:01
在4楼看到了，我奇怪的是，为什么一个没有对时间导数项的方程还有初始条件？

这个是锂离子电池固相电势的控制方程，一个普通导体不一样，其固相电势还受到内部锂离子含量的影响，即使源项j(x,t)为0，其固相电势也不为0，其实这个也是我比较费解的地方，形式上就是椭圆问题，但是又不太对，查各种资料，椭圆问题的离子就是泊松或者拉普拉斯方程，或者是静电场方程，但是我觉得锂离子电池里的这个方程和那些不是完全一样，希望您能给些意见，谢谢！
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13楼2013-07-27 09:12:38
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金虫 (正式写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by pippi6 at 2013-07-27 17:21:57
一维问题可以用SOR，也可以用三对角。总之，接完一遍后，要把确定0电势的条件。比如，在 i=1 点，电势定义为0， 那就把所有电势减去 phi（1）。这样，就可以去掉数值不稳定性，同时保证了电势条件。

你后面的问 ...

我只会照猫画虎的处理一下，下面是我用有限差分处理为三角矩阵的过程，麻烦您有时间时看一下，十分感谢！
处理大致过程是对内节点采用中心差分，边界条件采用3点差分格式，构成n个线性方程组，构成三角矩阵求解。
http://pan.baidu.com/share/link? ... p;amp;uk=4012658177
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16楼2013-07-28 15:12:58
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