一篇PRL文献讨论，电子自旋与电子运动产生磁场的相互作用 - 物理 - 基础物理

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20楼: Originally posted by walk1997 at 2013-02-23 09:43:34
晕我更糊涂了
有什么基本的参数资料提供下么我去看看
而且你这一说法还是没回到k_T 是什么
k_z是本征值 L_z也是本征值然后又不需要对k_T积分
自变量又是 z,r,\phi (k_z, l取常数代表本征值,
那k_T取什么 ...

$k_{\perp}$ 是螺旋电子束动量在 $\left(r,\varphi\right)$ 平面上的动量投影，这个前面提到过了。这个动量投影不需要积分，因为它是个径向常量，所以在动量空间只要对角度 $\varphi_{k}$ 做积分。
$k_z$ 是动量算符 $-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}$ 的本征值， $k_0$ 与哈密尔顿量 $H$ 本征值 $E$ 关系为 $k_0^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$ ，所以 $k_{\perp}$ 为 $k_{\perp}^2=k_0^2-k_z^2$
在柱坐标下， $e^{il\varphi}J_l\left(k_{\perp}r\right)\exp\left(ik_zz\right)$ 是一族完备基，而平面波不是，但是可以通过坐标变换把任意的平面波转换到柱坐标下用该族完备基表示。

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21楼2013-02-23 11:12:02

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参考文献例如：
P. Schattschneider, J. Verbeeck, Theory of free electron vortices, Ultramicroscopy 111 (2011) 1461-1468.

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22楼2013-02-23 11:14:29

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22楼: Originally posted by iamikaruk at 2013-02-23 11:14:29
参考文献例如：
P. Schattschneider, J. Verbeeck, Theory of free electron vortices, Ultramicroscopy 111 (2011) 1461-1468....

谢谢文献提供
瞄了下我觉得这文献里面明确提到了类似于你上面的解是有比较特殊的边界条件的
比如局限在圆柱上/局限在圆柱内就全空间而言  这意味这圆柱内外/外的势是无穷大圆柱内/圆柱上的势是零
另外从你的态也可以看到取r=infinity时波函数是0 明显的束缚态行为
不是对应自由电子文献里面用自由一词只是代表某个感兴趣的区域内势是零  并不是全空间 - 个人观点
回到最原始的问题  坐标变换是个整体的变换  要考虑全空间的势
在你最开始的情况下你只能考虑沿z的轴的boost 这一变换下外势不能磁场也应该不会变如果是电子真自由的坐标系下 (1)很难是惯性系 (2)全空间的势肯定要变了.....

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23楼2013-02-23 11:39:32

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23楼: Originally posted by walk1997 at 2013-02-23 11:39:32
谢谢文献提供
瞄了下我觉得这文献里面明确提到了类似于你上面的解是有比较特殊的边界条件的
比如局限在圆柱上/局限在圆柱内就全空间而言这意味这圆柱内外/外的势是无穷大圆柱内/圆柱上的势是零
另外从 ...

哦，那篇文献用到了光阑，我引用文献不对。
下面这一篇，没有任何边界条件。不过它用的是Dirac equation，但是在旁轴近似下跟Schrodinger equation解是一致的。
PRL 107,174802(2011)
这个解肯定用不到任何边界条件和外势场，莫非要我推一遍给你看？

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24楼2013-02-23 12:24:09

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柱坐标下Schrodinger equation写成
$\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi=-k_0^2\psi$ ，其中 $k_0^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$ 。

假设 $\psi$ 可以变量分离写成 $\psi=R\left(r\right)\Phi\left(\varphi\right)Z\left(z\right)$ 的形式，代入柱坐标下Schrodinger equation可以得到
$\frac{r^2}{R}\frac{\partial^2 R}{\partial r^2}+\frac{r}{R}\frac{\partial R}{\partial r}+\frac{1}{\Phi}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2}+r^2\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=-k_0^2 r^2$

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25楼2013-02-23 12:36:13

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这个方程有解必须满足
$\frac{\text{d}^2 \Phi}{\text{d} \varphi^2}=-l^2\Phi$ ；
$\frac{\text{d}^2 Z}{\text{d} z^2}=-k_z^2 Z$ ；
$r^2\frac{\text{d}^2 R}{\text{d} r^2}+r\frac{\text{d} R}{\text{d} r}+\left[\left(k_0^2-k_z^2\right)r^2-l^2\right]R=0$ ；
最后一个方程就是Bessel function。

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26楼2013-02-23 12:41:55

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24楼: Originally posted by iamikaruk at 2013-02-23 12:24:09
哦，那篇文献用到了光阑，我引用文献不对。
下面这一篇，没有任何边界条件。不过它用的是Dirac equation，但是在旁轴近似下跟Schrodinger equation解是一致的。
PRL 107,174802(2011)
这个解肯定用不到任何边界 ...

嗯谢谢文献在家暂时下载不了
有空我下载下文献去看看
你下面的推导没问题呀但是要注意的是这样给出的是通解
实际的态是这些解的叠加叠加后满足特定的边界条件
要想满足某些边界条件单一分离变量后的解可能是不够的
事实上你这样的推导在球坐标下也一样呀
不能说那样的解就是自由解 (还需要边界条件定)
这相当于和H对易的量子数你可以不选p_x,p_y,p_z 选了其他的比如你这里看起来是选了H,p_z 以及L_z 这样的选取(本征态)不仅仅满足零势情况柱对称的势能都可以但是也丧失了另外些性质 -- Sch方程应该是这样的
Dirac方程的情况原则上也应该是类似的
你提到的文献看看后再乱评论呵呵

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27楼2013-02-23 13:07:08

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27楼: Originally posted by walk1997 at 2013-02-23 13:07:08
嗯谢谢文献在家暂时下载不了
有空我下载下文献去看看
你下面的推导没问题呀但是要注意的是这样给出的是通解
实际的态是这些解的叠加叠加后满足特定的边界条件
要想满足某些边界条件单一分离变量后的解 ...

边界条件就是波函数应该满足的连续，可微这些条件。
前面你认为它是束缚的，但是是不对的，因为尽管 $J_l\left(k_{\perp}r\right)$ 在无穷远处为0，但是积分 $\int_0^{+\infty}rJ_l^2\left(k_{\perp}r\right)$ 是发散的，这与平面波没有任何区别。
加上一个任意的柱对称势场之后，Lz和pz仍然是本征值，但是径向分布不再是一个发散的积分，而应该是收敛的，这就是受束缚的和自由的最大区别。
其实你选取平面波，就是选取{H,p}，而选取贝塞尔函数解，就是选取{H,pz,Lz}。
当然无论以上如何讨论，刨除掉量子电动力学中电子发射虚光子引入的self-interaction，一个单电子在Dirac equation框架下是不会受到自身运动产生的电磁场的影响，Dirac equation中的 $e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{A}$ 和 $eV$ 均是外场。

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28楼2013-02-23 13:28:47

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1.嗯我说的边界条件是具体的无穷远处的取值零或者其他常数 / 或者某个边界的取值
2.关于束缚态的判断,你说的有一定道理  我前面直接说\psi(x,y,z)->0 得出是束缚态不是最合适最合适的还是看
\psi(x,y,z)\psi(x,y,z)* ->0 与否(前者其实比后者更强对归一化的波函数 ), 你的积分形式判断是考虑了Jacobi因子  这在计算某个力学量的平均值时合适 \psi(x,y,z)\psi(x,y,z)*  dxdydz == \psi(r,\phi,z)\psi(r,\phi,z)*  rdrd\phidz  但做为束缚态的判据个人觉得不合适  束缚态的判据个人感觉是看 \psi(x,y,z)\psi(x,y,z)* ->0 与否
不能加Jacobi因子(不然的话换到其他坐标 Jacobi因子的可以任意发散)  也不需要看其他力学量(比如r,或者r^2,等等)的平均值是否发散  (嗯更好的把归一化去掉我们只看 \psi(x,y,z)\psi(x,y,z)*/\psi(x0,y0,z0)\psi(x0,0y,z0)*->0与否 )  ----  这个人观点还没去检查一下子不知道哪里有详细的阐述也许LZ可以提供些资料
3. 发现你给的PRL107 有挂在arXiv上看了下文章的基本思路感觉是用Dirac方程的平面波解直接叠加出
Bessel beams解这个叠加里面个人感觉已经应用了某些边界条件  而不是什么都没应用不然的话为什么物理态
(式1的解)是相应式6  而不是式2, 作者也讲了2 是其解(平面波)
4.  原则上 Dirac方程里面的场应该是整个体系的不分为电子自身的和外加的 !
只是通解经典情况外加的场等效到某种边界条件这里面边界条件已经包含了诱导出来的场
而且可以想象得到这种诱导出来的相互作用/效应和直接耦合是高阶贡献  -- 外行观点不知道专门做光学/电磁学的人怎么看.....考虑经典的辐射也是如此吧电子要是在引力作用下做辐射 (这辐射出来的场该是电子自身带的吧)应该有反冲一样的效应不然能量哪里来呢? 用QFT的观点很直接电子放出光子  自己的状态就改变了.....这放出的光子只是不是单纯的库伦场而是平面波不过这种效应对自旋/极化的改变应该和电子的质量成正比(印象中如此) 但是看你们文章的结果都是和电子质量成反比(虽然不是同一个量一个和光子一个只和磁场)....
难道是低能情况和高能情况完成不一样...(搞不懂)

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29楼2013-02-23 19:09:50

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29楼: Originally posted by walk1997 at 2013-02-23 19:09:50
1.嗯我说的边界条件是具体的无穷远处的取值零或者其他常数 / 或者某个边界的取值
2.关于束缚态的判断,你说的有一定道理我前面直接说\psi(x,y,z)->0 得出是束缚态不是最合适最合适的还是看
\psi(x,y,z)\ps ...

1. 再次强调没有边界条件
2. 请注意wiki上关于bound state的这么一段话：“In general, a stable bound state is said to exist in a given potential of some dimension if stationary wavefunctions exist (normalized in the range of the potential).”那么是否意味着不能归一化的波函数不算bound state呢？关于束缚态有着严格的定义，但是那段数学我看不懂。
3. 这很容易解释，如果你选取{H,p}，那么两束能量相同的平面波叠加你该怎么选取？三束能量相同的平面波叠加呢？此时动量算符不再满足和H的对易关系。而对于这种特殊的无数个平面波叠加，选取{H,Lz,pz}更加合适。
4. 这里讨论的是单电子的狄拉克方程，需要考虑的只是外场。或者那么这么说吧，描述一个自由运动电子的狄拉克方程中是否有电磁项？如果有那为何自由运动电子还是平面波？在量子电动力学框架下电子发射出一个虚光子并且与自己作用这个我理解，这也导致了电子磁矩的细微修正。但是，这个修正绝对不是说把电子自身运动产生的(A, V)场简单的叠加到自身之上。

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30楼2013-02-23 20:34:54

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