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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求简单微分方程的解，请大家帮我看看。
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acencumt

新虫 (小有名气)

[求助] 求简单微分方程的解，请大家帮我看看。

求微分方程                  

要求解用指数函数e^x形式表示。 请大家帮我看看。
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1楼 2012-12-05 22:22:27
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

如果一定要用e^x表示的话，最后的解不一定是实函数，而是复数函数。如果要求实函数的解，则必须出现三角函数。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
4楼2012-12-07 02:51:03
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
要根据Q为正，为负，为0三种情况讨论。
1. 如为正，则相应齐次方程通解为c1*cos(sqrt(Q)x)+c2*sin(sqrt(Q)x)；
2. 如为负，则相应齐次方程通解为c1*exp(-sqrt(-Q)x)+c2*exp(sqrt(-Q)x);
3. 如为0，则相应齐次方程通解为c1*x+c2；
得到齐次方程通解后，将常数c1,c2用函数c1(x)，c2(x)代替（常数变易法），解关于c1(x)，c2(x)的方程：
y1*c1'(x)+y2*c2'(x)=0,
y1'*c1'(x)+y2'*c2'(x)=f(x),
这里y1, y2 分别对应三种情况里的线性无关特解，比如在情况1时就是：y1=cos(sqrt(Q)x), y2=sin(sqrt(Q)x)。
解出c1(x)和c2(x)后带回到相应的通解里就得到原来问题的通解。
当然如果f(x)比较特殊的话，比如是多项式、或者多项式和exp(mx)的乘积等情况下，还可以用待定系数法。这个方法在一般的高等数学书里都会讲到，如同济版高等数学。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
2楼2012-12-06 04:26:18
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acencumt

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by archdevil at 2012-12-06 04:26:18
要根据Q为正，为负，为0三种情况讨论。
1. 如为正，则相应齐次方程通解为c1*cos(sqrt(Q)x)+c2*sin(sqrt(Q)x)；
2. 如为负，则相应齐次方程通解为c1*exp(-sqrt(-Q)x)+c2*exp(sqrt(-Q)x);
3. 如为0，则相应齐次方程 ...

同济版教材都是用三角函数表示的，我希望能用指数函数e^x表示，请帮我求出本题具体答案。
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3楼2012-12-06 22:07:36
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itachi32167

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
上面的哥们已经说得很清楚了，不过要以e^x表示，即使在复数情况下表示成e^iθx的形式就行。
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5楼2012-12-07 09:40:56
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