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求简单微分方程的解，请大家帮我看看。
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求微分方程 要求解用指数函数e^x形式表示。 请大家帮我看看。 |
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archdevil
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【答案】应助回帖
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要根据Q为正，为负，为0三种情况讨论。 1. 如为正，则相应齐次方程通解为c1*cos(sqrt(Q)x)+c2*sin(sqrt(Q)x)； 2. 如为负，则相应齐次方程通解为c1*exp(-sqrt(-Q)x)+c2*exp(sqrt(-Q)x); 3. 如为0，则相应齐次方程通解为c1*x+c2； 得到齐次方程通解后，将常数c1,c2用函数c1(x)，c2(x)代替（常数变易法），解关于c1(x)，c2(x)的方程： y1*c1'(x)+y2*c2'(x)=0, y1'*c1'(x)+y2'*c2'(x)=f(x), 这里y1, y2 分别对应三种情况里的线性无关特解，比如在情况1时就是：y1=cos(sqrt(Q)x), y2=sin(sqrt(Q)x)。 解出c1(x)和c2(x)后带回到相应的通解里就得到原来问题的通解。 当然如果f(x)比较特殊的话，比如是多项式、或者多项式和exp(mx)的乘积等情况下，还可以用待定系数法。这个方法在一般的高等数学书里都会讲到，如同济版高等数学。 |
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