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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 请问下面这个概率题怎么做的
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130098300

银虫 (正式写手)

[求助] 请问下面这个概率题怎么做的

请见下图，小弟好久不摸概率了，最近看随机过程，做一下课后题，发现生疏很多。
第一幅图为题目，第二幅图为解答，请问第二问这么对对不，还有，我觉得如果这是对的，感觉太麻烦了，有没有比较简单的方法立马能判断二者独立不独立

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[ 来自科研家族 哲学人生 ]
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Working for the Lord with all my heart
1楼2012-12-03 21:34:36
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realghost828

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个证明是对的，也是比较简单的了，但是在解答里面f(m,n)等式右端的指数部分好象应该是加号吧？
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人生就是要辉煌！
2楼2012-12-03 22:26:31
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itachi32167

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
130098300: 金币+2, 我想问一下，两个随机变量X,Y相互独立的充要条件是E(XY)=E(X)*E(Y)吗，我只在书上找到的是X,Y相互独立=》E(XY)=E(X)*E(Y) 2012-12-04 09:37:30
第一问独立的概率分布X+Y~（0+0,1+1）是均值相加，方差相加，X-Y~（0-0，1+1）这个是均值相减，方差相加。第二问的意思是先证明他们不相关，在证明独立，独立退出不相关，不相关推不出独立，所以它还要用二维正态分布证明独立性。我个人觉得可以用E[(x-y)(x+y)]=E(x-y)E(x+y)就行，左边是E(x^2-y^2)=E(x^2)-E(y^2)，由于X是标准正太分布，X^2服从开方分布Χ^2(1)(这里的X是开方分布那个符号)，同理Y^2也是，利用这个分布的性质它们的期望都是1，所以相减为0，左=右。楼主由于符号不好打，您将就看，希望能对你有帮助。
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3楼2012-12-03 22:32:22
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33221100

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
130098300: 金币+2, ★有帮助, 是的，我那个敲公式的时候马虎了，呵呵，谢谢 2012-12-04 09:35:36
解法基本上是正确的，只是稍有些问题：
1、相关系数的公式有误：分母不是那样的！应该是√D(X+Y) *√D(X-Y)，虽然不影响结果但这也是不该疏忽的地方。
2、f(m,n)等式右端的指数部分应该是加号。
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4楼2012-12-03 23:13:55
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130098300

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by realghost828 at 2012-12-03 22:26:31
这个证明是对的，也是比较简单的了，但是在解答里面f(m,n)等式右端的指数部分好象应该是加号吧？

不是好像，就是加号，呵呵，我写错了
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Working for the Lord with all my heart
5楼2012-12-04 09:34:19
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itachi32167

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by itachi32167 at 2012-12-03 22:32:22
第一问独立的概率分布X+Y~（0+0,1+1）是均值相加，方差相加，X-Y~（0-0，1+1）这个是均值相减，方差相加。第二问的意思是先证明他们不相关，在证明独立，独立退出不相关，不相关推不出独立，所以它还要用二维正态分 ...

E(XY)=E(X)*E(Y)不能说明说明独立，只能说明不相关，反例是在复旦大学概率论基础里面有，好像是伯恩斯坦提出的。我那个也是证明不相关，要证明独立，还是要在二维正态分布里面去说明。
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130098300
6楼2012-12-04 15:15:33
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130098300

银虫 (正式写手)
送鲜花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by itachi32167 at 2012-12-04 15:15:33
E(XY)=E(X)*E(Y)不能说明说明独立，只能说明不相关，反例是在复旦大学概率论基础里面有，好像是伯恩斯坦提出的。我那个也是证明不相关，要证明独立，还是要在二维正态分布里面去说明。...

行，我知道了，谢谢了
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Working for the Lord with all my heart
7楼2012-12-05 09:56:58
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

第一问就不说了。
说一下第二问吧：
因为X，Y独立服从正态分布，所以(X,Y)服从二维正态分布，由此可知它们的线性函数(aX+bY,cX+dY)也服从二维正态（a,b,c,d为任意常数），而两个联合分布为正态分布的随机变量，独立的充要条件是它们不相关，即相关系数等于0，或协方差为0，或它们相乘的期望等于各自期望的乘积。
所以第二问，只要计算Cov(X-Y,X+Y)是否等于0即可，等于0，就说明X+Y与X-Y独立
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8楼2012-12-07 10:18:52
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