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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 关于伴随矩阵正定的问题
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zy2031515

银虫 (小有名气)

[求助] 关于伴随矩阵正定的问题

A为实对称矩阵  怎样由A*正定推出A正定呢？
求大神指点
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1楼2012-11-20 22:38:33
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zy2031515

银虫 (小有名气)
引用回帖:
13楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-11-21 19:20:53
还是先化成对角阵。 AA^*＝｜A｜^n I, 这里I是单位矩阵。设PA^*P^{-1}＝B 为对角阵且对角线上元素全为正数. 由PAP^{-1}PA^*P^{-1}=|A|^nI，可得PAP^{-1}=｜A｜^nB^{-1}. 如果n是偶数，在显然｜A｜^nB^{-1}的对角线上 ...

貌似我刚才没说清楚  就是说如果|A|=0  是推不出B^{-1}这个东西的
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15楼2012-11-21 23:10:28
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
A^*是转置？如果是那么证明如下：令T为可逆矩阵使得 B＝T^{-1}AT为对称矩阵，因为A正定，所以B的对角线上元素全为正数。取转置 A^*的一个对角化为B,从而A^*正定。
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2楼2012-11-20 23:23:08
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
由于A*=aA^{-1}，其中a为正数
（1）由于A对称，所以A*对称。（由A*的定义可得）
（2）设A*的特征值和特征向量分别为b,X，则有：A*X=bX.
左乘A可得：aX=bAX，所以X也是A的特征向量，且a/b为正数（因为A正定）。
所以b>0。
所以得到结论。
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3楼2012-11-21 07:26:34
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09211034

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
伴随矩阵正定，伴随矩阵的特征值a全大于0，而A的特征值是|A|/a，要说明A正定，必须有|A|>0或n为偶数

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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生活如此美好
4楼2012-11-21 13:27:08
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