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zy2031515

银虫 (小有名气)

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[求助] 关于伴随矩阵正定的问题

A为实对称矩阵怎样由A*正定推出A正定呢？
求大神指点

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1楼2012-11-20 22:38:33

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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
zy2031515: 金币+5, ★★★很有帮助, 大概意思清楚了，这命题确实不成立一点点小错误：AA*=|A|I，不是|A|^nI。所以后面应该不需要讨论奇数偶数的问题，而是注意|A|是否为0~ 多谢解答 2012-11-21 23:09:00

还是先化成对角阵。 AA^*＝｜A｜^n I, 这里I是单位矩阵。设PA^*P^{-1}＝B 为对角阵且对角线上元素全为正数. 由PAP^{-1}PA^*P^{-1}=|A|^nI，可得PAP^{-1}=｜A｜^nB^{-1}. 如果n是偶数，在显然｜A｜^nB^{-1}的对角线上的元素全为正数。如果n为奇数，且|A| 为负数，则A有可能是负定。例如取A 为三阶对角阵，对角线上全为－1. 则A^*为对角线上全为1的3阶矩阵。