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aibq

木虫 (正式写手)

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[求助] 求助积分

请教下面积分如何做? 结果和数值的总是对不上., 谢谢!

积分.jpg

[ Last edited by aibq on 2012-11-14 at 09:53 ]

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1楼 2012-11-14 09:49:05

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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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aibq: 金币+10 2012-11-18 12:59:03

3楼说的基本正确。在做这个计算时，通过变量代换：y=2arctan(t),可求出1楼给出的解，但注意：这个变量代换中必须要arctan(t)有值域（-pi/2,pi/2）,即变量代换只在y属于区间(-pi,pi)时有效。
但是如果积分的上限没有落在(-pi,pi)之内怎么办呢？比如x=2pi，此时可以将区间分成（0，pi）和(pi,2pi),在(0,pi)上正常积分得pi/sqrt(3)，而在（pi，2pi）上通过变量代换:y=2pi-x,将区间变成(0,pi),而被积函数形式不变，从而也可正常积分了。通过这种办法可以类推得最后的结果为：当x属于((2n-1)*pi,(2n+1)*pi)时
2n*pi/sqrt(3)+F(t), 这里F(t)就是1楼给出的原函数令c=0，t=x-2n*pi。
这里的关键是：由于被积函数连续，故一定有原函数，且由于原函数可微，故原函数必定连续。显然1楼给出的原函数在x=（2n-1）*pi处是间断的，从而不可微。解决这个问题的办法就是通过调整积分常数C使得原函数连续，本题中的常数C=2n*pi/sqrt(3),而n是一个和x相关的数，这样原函数就连续了。