dzm709922940

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[求助] 今天遇见一数学题，做不来，求高人指点！

已知y= $x^3$ + $x^2$ +ax+b过原点的切线有三条，问b的范围

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1楼 2012-07-31 21:19:49

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leexiaoyao

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天生我材必有用

5楼2012-08-02 15:59:23

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基极电流

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【答案】应助回帖

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dzm709922940: 金币+1, ★★★★★最佳答案, 非常感谢您的帮助，由于新人，金币不多，望见谅！ 2012-08-01 10:24:38
dzm709922940: 回帖置顶 2012-08-10 09:26:37

切线过原点，所以该切线的斜率等于该点的纵坐标与横坐标之比。由此得到关于切点横坐标的方程。这个方程是个一元三次方程，含有参数b，而未知数就是切点横坐标。
因为有三条切线，所以上面说的含有参数b的一元三次方程有三个不相等的实根。由一元三次方程根的判别式（这是一个以b为参数的一元二次不等式）得b<0或b>1/27。

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西湖太小

2楼2012-08-01 01:00:23

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pengyehui

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dzm709922940: 回帖置顶 2012-08-01 10:24:45

题目是不是有问题：
原点处的切线的斜率是a，所以过原点的切线就只有 y=b+a*x
不会有3条！

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3楼2012-08-01 09:25:42

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pengyehui

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引用回帖:

3楼: Originally posted by pengyehui at 2012-08-01 09:25:42
题目是不是有问题：
原点处的切线的斜率是a，所以过原点的切线就只有 y=b+a*x
不会有3条！

3楼理解有误！
过（x0,y0）的切线方程是：y=y0+(3x0^2+2x0+a)(x-x0); 注意这里y0=x0^3+x0^2+ax0+b
既然切线经过原点，因此
0=x0^3+x0^2+ax0+b-(3x0^2+2x0+a)*x0
因为有三条，这个关于x0的一元3次方程应该有三个不同的解，由此确定b的范围

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4楼2012-08-02 15:28:43

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