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[学术求助]关于一个函数的Fourier变换
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| 《数学手册》上可以查到，函数 f(x)=1/|x| 的Fourier变换是 1/|λ|（也可能差个sqr(2π)，取决于所用的积分格式），但有谁知道这是怎么算出来的吗？ |
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木虫 (著名写手)
未来国家冻凉
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3楼2007-03-21 17:31:54
4楼2007-03-21 22:37:41
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1/λ=ν,κ=k/2π,波长,波数,波矢(的模) 1/T=f=ω/2π周期,频率,角频率 时空是对偶的,(可参考信息光学,关于,角谱的问题) 所以应当用主值PV(Principal Value)积分 PV Integral[1/|x|*exp(-iκx),{-inf,+inf}] =PV Integral[1/|x|*[cos(κx)+isin(κx)],{-inf,+inf}] =PV 2Integral[(1/x)*cos(κx),{-inf,+inf}] 因为sin为奇函,cos为偶函 接下来用把cos展开,用幂级数求和,得结果 最后利用κ=1/λ把,κ换成λ 或者直接从 PV Integral[1/|x|*exp(-ix/λ),{-inf,+inf}] 开始也行 此外,x和λ间的Fourier变换,没有系数2π,因为x空间和λ空间互为直接倒易reciprocal空间,系数2π仅出现在x空间和x空间的伸长倒易空间,即k空间, 同理t和f间的Fourier变换,也没有系数2π,但t和ω间的Fourier变换有系数2π |
5楼2007-03-22 06:20:24
6楼2007-03-25 14:50:42
5