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[求助]
求助2个群在集上的作用的课后习题
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1证明：假如有限群G有一个指数为n的子群H，那么H包含一个G的一个正规子群K，|K| 整除n！。 2证明：假如G的作用是2重传递的，那么它是本原的。 思考了好几天，想不出来，课后习题而已，求大侠赐教！不胜感激。 |
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jp2007
木虫 (初入文坛)
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- 专业: 代数学
【答案】应助回帖
wujy1753(金币+10): 谢谢 2011-11-20 16:01:34
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第一题, 结论有误, 应该是|G:K|整除n!, 这是群作用在子群陪集集合上的一个标准结果. 证明如下: 考虑群 G 在子群 H 的左陪集集合上的乘法作用, 作用核记为 K, 则 K 显然是包含在 H 中的 G 的正规子群, 故 商群 G/K 在该集合上作用是忠实的, 从而其阶 |G:K| 能整除该集合元素个数 n 的阶乘. 第二题也是标准结果, 用反证法证明. 假设群 G 在集合 X 上的作用非本原, 按定义存在一个非平凡的块 Y, 因为 Y 中至少含有两个点, 记为 a, b. 同理 X-Y中至少含有一个点 c, 此时 a 和 c 不同, 故从2-传递的定义可知, 存在群元素 g, 把 (a, b) 变为 (a, c). 一方面, 从 ag=a 可知 Y 和 Yg 有公共点, 只能相等; 另一方面, 从 c=bg 可知 c 也在 Y 中, 矛盾! |
2楼2011-11-20 13:51:52