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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 帮忙看一个微分方程
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wangyuhui8538

金虫 (小有名气)

[求助] 帮忙看一个微分方程

方程为：
dθ=[c1(ω1)θ+A(ω1,ω2)]dω1+[c1(ω2)θ+B(ω1,ω2)]dω2
其中ω1,ω2为自变量，θ为待求的因变量，c1( ),A(ω1,ω2)和B(ω1,ω2)均已知。

问题：
1。如何求解该方程？
2。如无解析解，如何求其数值解？
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1楼 2011-08-20 08:43:29
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wangyuhui8538

金虫 (小有名气)
自己顶一下，希望可以得到帮助
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2楼2011-08-23 09:32:25
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巴特列

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-08-23 16:35:36
dθ=[c1(ω1)θ+A(ω1,ω2)]dω1+[c1(ω2)θ+B(ω1,ω2)]dω2
依稀有点印象：
设dθ（w1,w2)=f(w1,w2)dw1+g(w1,w2)dw2;
取这样一个积分路径，P:（m0,n0)-P1m0,w2)-P2：(w1,w2):
那么有：∫dθ（w1,w2)=[∫f(w1,w2)dw1+g(w1,w2)dw2]+[∫f(w1,w2)dw1+g(w1,w2)dw2]=[∫g(m0,w2)dw2]+
[∫f(w1,w2)dw1]
这个积分就很容易解决了。
求出来用Cauchy-Rieman方程验证下解析性。
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3楼2011-08-23 10:15:43
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wangyuhui8538

金虫 (小有名气)
巴特列兄，我对你说的方法不熟悉，能否更具体一点，比如假设微分方程如下，如何具体求取θ。初始条件自定。麻烦了！
dθ=[ω1*θ+ω1*ω2]dω1+[ω2*θ+(ω1+ω2)]dω2
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4楼2011-08-23 12:04:20
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巴特列

金虫 (正式写手)
抱歉哈，题目看错了，我再想想。
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5楼2011-08-23 17:29:34
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巴特列

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

wangyuhui8538(金币+10): 不错的判断方法! 2011-08-23 20:10:35
wangyuhui8538(金币+10): 谢谢, 2011-09-18 10:15:08
dθ=[c1(ω1)θ+A(ω1,ω2)]dω1+[c1(ω2)θ+B(ω1,ω2)]dω2，则：
δθ/δω1=c1(ω1)θ+A(ω1,ω2)...(1);δθ/δω2=c1(ω2)θ+B(ω1,ω2)...(2);
δ2θ/δω1δω2=δ(δθ/δω1)/δω2=c1(ω1)*δθ/δω2+δA/δω2...(3);
将（2）带入(3):δ2θ/δω1δω2=c1(ω1)*[c1(ω2)θ+B(ω1,ω2)]+δA/δω2...(4);
δ2θ/δω2δω1=δ(δθ/δω2)/δω1=c1(ω2)*δθ/δω1+δB/δω1...(5);
将(1)带入（5）:δ2θ/δω2δω1=c1(ω2)*[c1(ω1)θ+A(ω1,ω2)]+δB/δω1...(6);
假设有解析解，那么(4)=(6),该式中的含θ的项被抵消了：
剩下的等式中只有A,B,C1已知函数形式的项，可以根据已知验证是否解析了（若等式恒成立则解析）。
你给的那个例子是不解析的，同时根据该等式可以找到数值解。
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6楼2011-08-23 18:18:44
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wangyuhui8538

金虫 (小有名气)
你这个解析解存在的判别方法不错，不过还是没有给出解本身，而且由(4)=(6)得到：
c1(ω1)+B(ω1,ω2)+δA/δω2=c1(ω2)A(ω1,ω2)+δB/δω1
似乎并不能找到数值解,因为等式里面的函数都是已知的。
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7楼2011-08-23 20:16:10
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巴特列

金虫 (正式写手)
如果该等式不是恒成立的，那么该等式就是一个方程，一条曲线，曲线上的点就可能是解。
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8楼2011-08-23 21:25:01
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