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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第廿七题：系数的积
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第廿七题：系数的积已有4人参与

Euler大牛给出了一个很牛的二次公式:
引用回帖:
n^2 + n + 41

这个很牛的公式, 当n 从0取到39的时候,能给出40个质数. 可是当n=40的时候,就失灵了.

使用计算机, 我们又得到一个更牛的公式
引用回帖:
n^2 - 79n + 1601

这哥们,当n从0取到79的时候,能给出80个质数.

如果我们定义这样的一个二次公式: n^2 + an + b
a 和 b 的绝对值都小于1000, 当这个公式能产生最多的质数的时候, 给出a和b的积.

致歉：
开始译的时候，我理解错了，结果给出错误的表述，让大家产生了误解，在这里说声对不起了。

[ Last edited by holmescn on 2011-6-16 at 19:54 ]
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1楼2011-06-16 09:35:42
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sudo

木虫 (正式写手)
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余泽成(金币+3): 鼓励交流！ 2011-06-18 16:07:37
“产生最多的质数”这个说法有点模糊呢，看例子，是不是指n从0开始取，然后递增1，直到式子n^2 + an + b不再为质数为止，这个过程中n的个数呢？

然后那个80个质数的例子是暗示一个上限吗：

80^2 + 1000*80 + 1000 = 87400 （使用的质数表中，最大的质数小于这个数~）
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2楼2011-06-16 10:43:17
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huycwork

金虫 (著名写手)
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余泽成(金币+3): 鼓励交流！ 2011-06-18 16:07:47
引用回帖:
Originally posted by sudo at 2011-06-16 10:43:17:
“产生最多的质数”这个说法有点模糊呢，看例子，是不是指n从0开始取，然后递增1，直到式子n^2 + an + b不再为质数为止，这个过程中n的个数呢？

然后那个80个质数的例子是暗示一个上限吗：

80^2 + 1000*8 ...

应该是没有什么暗示的吧。要找的是从[0~x)自然数区间映射到素数空间的一个函数映射f(n)=n(n+a)+b，要求0~x这个区间最长。

a取正数的时候n+a肯定不能超过b，x的取值就是0~(b-a)，a取负数的时候似乎只能达到|a|，函数形状是对称的，能到达|a|纯属巧合，真正的产生素数的部分是0~|a/2|这个部分，x所在的区间应该是0~|a|。不过再往下也不是没可能，最可靠的估计还是0~b。

a的搜索区间是-1000~1000，b的搜索区间则是0~1000内的素数，算法看起来需要O(n*n/Inn)的复杂度，多项式时间可解的搜索问题吧。

[ Last edited by huycwork on 2011-6-16 at 12:26 ]
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-06-16 11:50:23
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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余泽成(金币+5): 鼓励交流！ 2011-06-18 16:08:02
这个只能暴力解吧,
CODE:
#include
#include
#include

bool isPrime(int n)
{
        int i;
        bool flag = true;
        for(i=2;i         {
                if(n%i==0)
                {
                        flag = false;
                        break;
                }
        }
        return flag;
}

int main(int args,char* argv[])
{
        int a=0,b=0,i,j;
        int maxlen=0, curlen,n;

        for(i=-999;i<1000;i++)
        {
                for(j=-999;j<1000;j++)
                {
                        if(!isPrime(j)) // n^2+a*n+b, b must be a prime while n==0
                                continue;

                        curlen = 1; // n==0
                        for(n=1;n<79;n++)
                        {
                                if(!isPrime(n*n+i*n+j))
                                        break;
                                curlen += 1;
                        }

                        if(curlen>maxlen)
                        {
                                maxlen = curlen;
                                a = i;
                                b = j;
                        }
                }
        }

        printf("While %d*%d=%d, (n^2+(%d)*n+%d) produces %d primes.\n",a,b,a*b,a,b,maxlen);

        return 0;
}

结果
CODE:
% While -61*971=-59231, (n^2+(-61)*n+971) produces 72 primes.
% Elapsed time is 1.578 seconds.

[ Last edited by libralibra on 2011-6-16 at 16:46 ]
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matlab/VB/python/c++/Java写程序请发QQ邮件:790404545@qq.com
4楼2011-06-16 16:23:25
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holmescn

金虫 (正式写手)
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余泽成(金币+3): 鼓励交流！ 2011-06-18 16:08:15
我还以为表达清楚了呢. 其实就是n从0取到m,这m+1个数都是质数.然后看a*b等于多少.

Matlab版的穷举法:
CODE:
tic
maxn = 0;
maxp = [0 0];
for a = -1000:1000
    for b = -1000:1000
        n = 0;
        while (n^2 + a*n + b) > 0 && isprime(n^2 + a*n +b)
            n = n + 1;
        end
        if n > maxn
            maxn = n;
            maxp = [a b];
            fprintf('maxn=%d\n', maxn);
        end
    end
end
fprintf('a=%d,b=%d, a*b=%d\n', maxp(1), maxp(2), maxp(1)*maxp(2));
toc

结果:
引用回帖:
a = -61,  b = 971,  a*b = -59231
用时 150 秒. 共有72个质数

[ Last edited by holmescn on 2011-6-16 at 16:37 ]
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5楼2011-06-16 16:36:15
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huycwork

金虫 (著名写手)
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引用回帖:
Originally posted by sudo at 2011-06-16 10:43:17:
“产生最多的质数”这个说法有点模糊呢，看例子，是不是指n从0开始取，然后递增1，直到式子n^2 + an + b不再为质数为止，这个过程中n的个数呢？

然后那个80个质数的例子是暗示一个上限吗：

80^2 + 1000*8 ...

很高的洞察力哈~佩服佩服~
阁下莫非是根据1601超过1000判断这个上限的？
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6楼2011-06-16 16:49:20
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holmescn

金虫 (正式写手)
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余泽成(金币+2): 辛苦了！ 2011-06-18 16:08:40
修改以后, 假设b是质数,这样时间变成原来的三分之一了
CODE:
tic
bprime = primes(1000);
maxn = 0;
maxp = [0 0];
for a = -1000:1000
    for i = 1:length(bprime)
        n = 0;
        b = bprime(i);
        while (n^2 + a*n + b) > 0 && isprime(n^2 + a*n +b)
            n = n + 1;
        end
        if n > maxn
            maxn = n;
            maxp = [a b];
        end
    end
end
fprintf('a=%d,b=%d, a*b=%d\n', maxp(1), maxp(2), maxp(1)*maxp(2));
toc
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7楼2011-06-16 16:50:45
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holmescn

金虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by libralibra at 2011-06-16 16:23:25:
这个只能暴力解吧,

[code] #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

bool isPrime(int n)
{
        int i;
        bool flag = true;
        for(i=2;i<sqrt(abs(n));i++)
        {
...

如果先给b生成一个质数表呢, 我想还能再快, 可能不到1秒了.
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8楼2011-06-16 16:55:23
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fatpig8832

铁杆木虫 (著名写手)
★
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汗，题目写得太令人费解了...

n^2 + n + 41 能给出前40个质数

我还以为是指从2开始的40个质数呢...后来一看不是，原来是从41开始的40个质数...后来一看又不是，原来，是指 n^2 + n + 41 这条公式给出的前40个解都是质数...
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9楼2011-06-16 17:35:39
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
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Originally posted by fatpig8832 at 2011-06-16 17:35:39:
汗，题目写得太令人费解了...

n^2 + n + 41 能给出前40个质数

我还以为是指从2开始的40个质数呢...后来一看不是，原来是从41开始的40个质数...后来一看又不是，原来，是指 n^2 + n + 41 这条公式给出的前40 ...

哈哈,这个题目英文说明很清楚的,

Euler published the remarkable quadratic formula:

n² + n + 41

It turns out that the formula will produce 40 primes for the consecutive values n = 0 to 39. However, when n = 40, 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 is divisible by 41, and certainly when n = 41, 41² + 41 + 41 is clearly divisible by 41.

Using computers, the incredible formula  n² − 79n + 1601 was discovered, which produces 80 primes for the consecutive values n = 0 to 79. The product of the coefficients, −79 and 1601, is −126479.

Considering quadratics of the form:

    n² + an + b, where |a| < 1000 and |b| < 1000

    where |n| is the modulus/absolute value of n
    e.g. |11| = 11 and |−4| = 4

Find the product of the coefficients, a and b, for the quadratic expression that produces the maximum number of primes for consecutive values of n, starting with n = 0.
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10楼2011-06-16 17:41:39
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