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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 【求助】赛车绕方形障碍物的最佳线路
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leedobb

金虫 (正式写手)

[交流] 【求助】赛车绕方形障碍物的最佳线路

有一道赛车最佳路线题：有一辆车绕正方形大厦（边长为1）跑，最大的加速度为a0，问最短可能绕一圈的时间是多少？注意初速度不需要为0。

现在我虽然得到了一解（不是圆，用时比圆形解小），所用的变分方法非常复杂。我想看看有没有人有更好的解法。谢谢。
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1楼 2011-03-12 23:47:09
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xizisixian

金虫 (正式写手)
★
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会不会是椭圆轨道呢？大楼中心在其一个焦点上，大楼内切于椭圆，赛车在靠近大楼所在的焦点处取最大加速度。
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2楼2015-06-20 08:47:42
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leedobb

金虫 (正式写手)
可以用变分重新解一下，但不可能是橢圆

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2015-06-20 09:09:47
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
★
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只给了最大加速度么，意思是可以一直加速？
最短线路应该是四段直线加四段圆角。圆角半径为r，总路程S= 4+pir^2。r应该为赛车的最小拐弯半径。最后时间t=sqrt(2S/a0)。

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4楼2015-06-25 11:12:02
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-25 11:12:02
只给了最大加速度么，意思是可以一直加速？
最短线路应该是四段直线加四段圆角。圆角半径为r，总路程S= 4+pir^2。r应该为赛车的最小拐弯半径。最后时间t=sqrt(2S/a0)。

可以一直加速，圆弧解没有我给出的解用时短。
具体见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e54678d0100psjj.html
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5楼2015-06-25 12:33:56
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
★
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5楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-25 12:33:56
可以一直加速，圆弧解没有我给出的解用时短。
具体见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e54678d0100psjj.html...

？我说的是四段直线加四段小圆弧啊。看了下链接。你说车子可以看成质点，那么直接走方形路线就好了。这样S=4L.t=sqrt(8L/a)=2.82sqrt(L/a),小于你给的答案啊。

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6楼2015-06-25 13:57:39
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leedobb

金虫 (正式写手)
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6楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-25 13:57:39
？我说的是四段直线加四段小圆弧啊。看了下链接。你说车子可以看成质点，那么直接走方形路线就好了。这样S=4L.t=sqrt(8L/a)=2.82sqrt(L/a),小于你给的答案啊。
...

你的意思是r趋于0，那么此时车子是小圆弧的加速度将为无穷大。注意这里的a0并不是线加速度大小。车子即使线速度不变，但沿圆弧跑，也会有加速度。
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7楼2015-06-25 14:40:03
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
★
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7楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-25 14:40:03
你的意思是r趋于0，那么此时车子是小圆弧的加速度将为无穷大。注意这里的a0并不是线加速度大小。车子即使线速度不变，但沿圆弧跑，也会有加速度。...

a是向心加速度？。。。。直线跑的时候，应该为0吧，感觉你这题出的不清楚。只给一个最大向心加速度不能解出来，因为如果我跑直线，速度越大越快，而此时向心加速度为零。我认为尽量跑直线是最快的。楼主给的解决方式，不懂，但是感觉楼主似乎总是假定车子再跑弧线，这好像不对。你既然得到了结果，为什么不附上最优线路图呀？？看看，便清楚了

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8楼2015-06-25 14:55:36
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难写啊

新虫 (正式写手)
★
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楼主问题没有描述清楚，
暂时只能说无解，
初速度不设限，那么要是别人理解为初线速度接近光速，那么最短时间趋于0
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9楼2015-06-25 15:33:58
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-25 14:55:36
a是向心加速度？。。。。直线跑的时候，应该为0吧，感觉你这题出的不清楚。只给一个最大向心加速度不能解出来，因为如果我跑直线，速度越大越快，而此时向心加速度为零。我认为尽量跑直线是最快的。楼主给的解决方 ...

唉，加速度是指总的加速度的大小要小于a0。加速度
a = dv/dt。注意a跟v都是向量。条件已经非常清楚就是
|dv/dt|<a0。

另外我没假定跑弧线，我假设路径曲线未知，然后用变分法。
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10楼2015-06-26 10:27:28
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leedobb

金虫 (正式写手)
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9楼: Originally posted by 难写啊 at 2015-06-25 15:33:58
楼主问题没有描述清楚，
暂时只能说无解，
初速度不设限，那么要是别人理解为初线速度接近光速，那么最短时间趋于0

接近光速一转个弯加速度就非常大了。
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11楼2015-06-26 10:28:27
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leedobb

金虫 (正式写手)
最终解见图，轨迹跟圆弧非常近但并不重合，所用时间：
T_arc = 6.2832
T_variation = 6.2779

的确是圆弧解不是最佳。
【求助】赛车绕方形障碍物的最佳线路
variation.png
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12楼2015-06-26 10:34:50
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
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10楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 10:27:28
唉，加速度是指总的加速度的大小要小于a0。加速度
a = dv/dt。注意a跟v都是向量。条件已经非常清楚就是
|dv/dt|<a0。

另外我没假定跑弧线，我假设路径曲线未知，然后用变分法。...

求路线？

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13楼2015-06-26 10:35:56
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
★
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12楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 10:34:50
最终解见图，轨迹跟圆弧非常近但并不重合，所用时间：
T_arc = 6.2832
T_variation = 6.2779

的确是圆弧解不是最佳。

variation.png
...

。。。。。。这个解是多少假定才得到的。直觉上明显不对吧。假如这个大厦有一个地球那么大，会有谁仅仅为了过四个转角而走这么一个大圆弧。显然应该先走直线，然后到拐角处再减速到能过弯道的最大速度。

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14楼2015-06-26 10:43:36
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leedobb

金虫 (正式写手)
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14楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-26 10:43:36
。。。。。。这个解是多少假定才得到的。直觉上明显不对吧。假如这个大厦有一个地球那么大，会有谁仅仅为了过四个转角而走这么一个大圆弧。显然应该先走直线，然后到拐角处再减速到能过弯道的最大速度。
...

呵呵。你自己算算吧。就算有地球那么大，结果还是一样。直觉往往不对的。关键是直线速度上不去的，路程少了，时间不一定少了。
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15楼2015-06-26 10:54:59
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tgvictor99

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15楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 10:54:59
呵呵。你自己算算吧。就算有地球那么大，结果还是一样。直觉往往不对的。关键是直线速度上不去的，路程少了，时间不一定少了。...

好吧，楼主你赢了。无聊用手机算了，按照走直线的策略，因为再拐角需要减速，最快也需要7.81361,此时的拐角半径为0.048

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16楼2015-06-26 14:59:33
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tgvictor99

木虫 (知名作家)
★
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15楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 10:54:59
呵呵。你自己算算吧。就算有地球那么大，结果还是一样。直觉往往不对的。关键是直线速度上不去的，路程少了，时间不一定少了。...

不过，如果能立马刹住车，而不是也按最大加速度减速的话，那就是跑直线快了。

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17楼2015-06-26 15:11:24
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tgvictor99

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12楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 10:34:50
最终解见图，轨迹跟圆弧非常近但并不重合，所用时间：
T_arc = 6.2832
T_variation = 6.2779

的确是圆弧解不是最佳。

variation.png
...

为啥走圆弧是二派？？？我算出来是5.2835

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18楼2015-06-26 16:00:30
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leedobb

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18楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-26 16:00:30
为啥走圆弧是二派？？？我算出来是5.2835
...

哦，我这里假设对角线长度一半为L。
T=2pi(L/a0)^0.5。
若边长为L
则为2pi/2^(1/4) = 5.2835*(L/a0)^0.5。

结果和你一样。
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19楼2015-06-26 17:25:53
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leedobb

金虫 (正式写手)
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16楼: Originally posted by tgvictor99 at 2015-06-26 14:59:33
好吧，楼主你赢了。无聊用手机算了，按照走直线的策略，因为再拐角需要减速，最快也需要7.81361,此时的拐角半径为0.048
...

你牛的，这么高级的手机？
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20楼2015-06-26 17:26:35
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tgvictor99

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20楼: Originally posted by leedobb at 2015-06-26 17:26:35
你牛的，这么高级的手机？...

手机excel.,一个个码的

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21楼2015-06-26 17:52:59
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