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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】为什么函数在孤立点连续？
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】为什么函数在孤立点连续？

若点x0是集E的孤立点，则函数f(x)一定在x0处相对于集E连续。
为什么？请教大虾解答。。。
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1楼 2011-01-11 16:04:49
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
还是有疑问：
例如，狄利克雷函数D(x):当x属于有理数Q时，为1；当x不属于有理数Q时，为0。D(x)定义在闭区间E = [0,1] 上。
如果按定义，对任意一x0(x0属于E)，都可以在x0邻域U内找到一x属于E且属于U，必有x=x0，此时D(x)=D(x0)。 则D(x)在任意x0上都连续，即D(x)在E（E=[0，1]）上连续。
但显然，D(x)在E（E=[0，1]）上处处不连续。

为什么？请大虾指教！
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-11 16:38:14:
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3楼2011-01-11 17:19:34
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+2): 2011-01-11 17:20:48
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-11 16:04:49:
若点x0是集E的孤立点，则函数f(x)一定在x0处相对于集E连续。
为什么？请教大虾解答。。。

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2楼2011-01-11 16:38:14
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+6): 2011-01-11 22:11:44
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-11 17:19:34:
还是有疑问：
例如，狄利克雷函数D(x):当x属于有理数Q时，为1；当x不属于有理数Q时，为0。D(x)定义在闭区间E = [0,1] 上。
如果按定义，对任意一x0(x0属于E)，都可以在x0邻域U内找到一x属于E且属于U，必有x=x0， ...

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4楼2011-01-11 20:15:37
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songhuali

木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+2): 2011-01-11 22:11:56
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-11 17:19:34:
还是有疑问：
例如，狄利克雷函数D(x):当x属于有理数Q时，为1；当x不属于有理数Q时，为0。D(x)定义在闭区间E = [0,1] 上。
如果按定义，对任意一x0(x0属于E)，都可以在x0邻域U内找到一x属于E且属于U，必有x=x0， ...

有理数点不是孤立点，离散点不一定是孤立点，孤立点的定义可以参考点集拓扑上的定义，由点集拓扑上的定义可知结论显然成立。
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5楼2011-01-11 21:53:25
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