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【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)
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| 对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。 |
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2楼2010-09-27 17:14:15
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4楼2010-09-27 20:56:33
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6楼2010-09-28 02:54:25
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小雨萌萌(金币+1):谢谢参与！线性函数在原点取值一定为0？ 2010-09-28 22:32:54
小雨萌萌(金币+1):谢谢参与！线性函数在原点取值一定为0？ 2010-09-28 22:32:54
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在一元函数的范围内，这是一个线性函数的充分必要条件，证明如下： （1）f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0; （2）f(x-x)=f(x)+f(-x),则f(-x)=-f(x); （3）对于任意正整数m,f(m)=mf(1); （4）对于任意正整数m,n,f(n)=mf(n/m); （5）由(3)(4)知f(n/m)=n/mf(1); （6）于是知对于任意有理数f(x)=xf(1); （7）如果f(x)连续; （8）则对所有无理数亦有f(x)=xf(1). [ Last edited by fyq98 on 2010-9-28 at 17:59 ] |
7楼2010-09-28 09:23:48
8楼2010-09-28 09:47:34
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小雨萌萌(金币+1):谢谢参与讨论 2010-09-28 22:33:25
小雨萌萌(金币+1):谢谢参与讨论 2010-09-28 22:33:25
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没说是连续的。 保有理数数乘那倒是肯定的，这是保加法的直接推论，7楼已经展示。至于保实数数乘那就不一定了。 实际上，基于选择公理，存在着 R （实数集合）作为 Q （有理数域）上向量空间的一个 Hamel 基 B ，这就是说，任何一个实数都可以唯一地写为 B 中有限个元素的有理系数线性组合。现在任取 α∈B，规定 R 上函数 f 如下：如果实数 x 写成 B 中元素的有理系数线性组合时， α 的系数为 y，就令 f(x) = y。显然， 函数 f 满足可加性条件，且有 f(α) = 1。现在设 x 是任意一个无理数，按照函数 f 的定义，它的值只可能是有理数，因此 f(xα) ≠ x = xf(α)。 [ Last edited by Pchief on 2010-9-28 at 10:13 ] |
9楼2010-09-28 10:11:15
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wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21
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你说得对，并没提f的连续性，所以不能保证是线性函数。这个问题可是历史上著名的问题，Cauchy曾经解决过它，结论很有意思。关于这个问题的一些进展详见 http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf |
10楼2010-09-28 17:58:14
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