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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 材料区 » 功能材料 » 基础研究 » 【交流】所有的二次型哈密顿量都能对角化吗？
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)

[交流] 【交流】所有的二次型哈密顿量都能对角化吗？

各位大虾，请问一下，是不是所有的二次型哈密顿量都能对角化？
对称的哈密顿量矩阵一定能对角化吗？
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1楼 2010-08-24 16:13:15
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earthwater

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by hznu2007 at 2010-12-16 19:36:07:
转置等于自己就是对称矩阵，书上是有说对称性矩阵是可以对角化的。
但是，任何形式的哈密顿量在理论上都可以严格对角化？这个小弟确实很想问问清楚！！！谢谢，大虾解答

我觉得是这样的，哈密顿算符是厄密算符，在一个选定的表象中的矩阵形式就是厄密矩阵，所以它肯定是可以对角化的。

这个哈密顿矩阵的大小就要看你选的表象的维数了。
我前段时间在紧束缚方法计算能带，所以就举那里的例子吧。
比如，有10个原子的体系。
当哈密顿算符是'单体算符'时,也就是单电子近似的。此时的表象可以选取为各个原子处的轨道。再考虑自旋，这个表象的维数是20。
当哈密顿算符是多体算符，比如考虑下Hubbard模型。再假设电子数目有10个，此时的表象选取应该是 这10个电子占据那20个原子轨道的所有的可能状态 这个组合总共有20C10=184756  可见此时的表象维数是18万，哈密顿矩阵也就是18万的方阵了。

[ Last edited by earthwater on 2010-12-17 at 10:24 ]
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11楼2010-12-17 10:22:11
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
哪位牛人帮忙解答一下？？？谢谢
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2楼2010-08-24 17:54:50
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
哪位高手进来交流一下，解答一下啊！热切期盼中。。。。。
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3楼2010-08-27 16:31:45
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zonkel

铜虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★
夕阳西下(金币+1):鼓励 2010-08-28 15:36:02
hznu2007(金币+5): 2010-09-24 17:50:12
hznu2007(金币+1):谢谢参与交流！ 2010-12-14 20:13:50
GrasaVampiro(金币+5): 2010-12-16 21:57:19
引用回帖:
Originally posted by hznu2007 at 2010-08-24 16:13:15:
各位大虾，请问一下，是不是所有的二次型哈密顿量都能对角化？
对称的哈密顿量矩阵一定能对角化吗？

哈密顿量是都能对角化的，这个建议楼主多学学量子力学，这是基本的，如果它不能对角话，它描述的就不是一个物理系统。对称的哈密顿量矩阵一定能对角化，所有的对称矩阵都是可以对角化的，建议楼主好好学习学习群论，上面有如何对角化，如何计算变换矩阵。
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4楼2010-08-28 09:55:42
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
请问上面的大虾，是说二次型的哈密顿量都能对角化，还是所有任何形式的哈密顿量都能对角化，谢谢。
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5楼2010-12-14 20:00:34
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
如果大虾是说所有的二次型的哈密顿量都能对角化，那请大虾帮忙列几种比较有用的变换。如果大虾是说所有任何形式的哈密顿量都能对角化，那么四算符的哈密顿量不做平均场或任何近似就直接能对角化？请大虾也举例一下。请大虾解答一下，谢谢！
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6楼2010-12-14 20:07:35
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earthwater

铜虫 (初入文坛)
★ ★ ★ ★ ★
hznu2007(金币+2): 2010-12-16 15:59:54
GrasaVampiro(金币+5): 2010-12-16 21:57:51
1、哈密顿算符是厄密的，也就是转置共轭等于他自己，这样的矩阵肯定可以对角化的。我没学过群论，学过线性代数的也知道这个结论。
2、你所谓的'二次型的哈密顿量‘是什么意思？
3、四算符的哈密顿量不做平均场或任何近似就直接能对角化，但是会很庞大的矩阵，典型的都是几十万到几百万的大型稀疏矩阵。这样来对角化叫做严格的对角化，(相对于平均场近似而言)。
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7楼2010-12-15 09:31:18
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by hznu2007 at 2010-12-14 20:07:35:
如果大虾是说所有的二次型的哈密顿量都能对角化，那请大虾帮忙列几种比较有用的变换。如果大虾是说所有任何形式的哈密顿量都能对角化，那么四算符的哈密顿量不做平均场或任何近似就直接能对角化？请大虾也举例一下 ...

你的意思是所有的哈密顿量在理论上都能对角化，只是实际处理中复杂或简单的问题。
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8楼2010-12-16 19:07:27
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
你的意思是说理论上哈密顿量是都可以对角化的，只是在实际处理中哈密顿量要精确对角化会存在很繁琐的推导过程？
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9楼2010-12-16 19:10:20
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
转置等于自己就是对称矩阵，书上是有说对称性矩阵是可以对角化的。
但是，任何形式的哈密顿量在理论上都可以严格对角化？这个小弟确实很想问问清楚！！！谢谢，大虾解答
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10楼2010-12-16 19:36:07
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hznu2007

铁虫 (初入文坛)
关于哈密顿量对角化的问题，我还有个问题，《群论及其在固体物理中的应用》，p40也说由于任何厄米矩阵都可以通过一个幺正的相似变换变为对角矩阵。这就是说哈密顿量是厄米矩阵就是可以对角化。再看李正中的《固体理论》，第三章的双格子自旋波哈密顿量，P78，由于算符是玻色子，哈密顿量H的转置共轭不等于本身，也就是说不是厄米的，书上用bogoliubov正则变换。那么在处理多体问题的时候，哈密顿量为4*4矩阵，反对角线出现系数，也能变换到对角化吗？或者说处理多体问题的哈密顿量都能对角化？哪位大侠解读一下？
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12楼2012-11-06 19:47:31
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