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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】高维PDE的求解
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有机物

至尊木虫 (著名写手)

[交流] 【求助】高维PDE的求解已有6人参与

请教：如下的高维偏微分方程如何解？如果用有限差分法，电脑算起来太慢。现在想寻求近似解析解，以前没解过高维PDE，有没有朋友解过类似的方程，请提宝贵经验，谢谢。



[ Last edited by javeey on 2010-7-1 at 23:14 ]
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1楼2010-07-01 22:58:24
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★
有机物(金币+1):谢谢参与
javeey(金币+2):谢谢参与交流。我能看到图片 2010-07-02 07:27:14
这两天有时候看不到小木虫图片服务器的图，真是怪事！

偏微分方程的数值方法是很大的领域，看不到图，就只能泛泛而谈了。

如果算法能求解，那么最简单的解决办法还是提高计算速度。

从硬件上来说就是用更快的机器算。

从算法本身来看，preconditioning是非常有效的提速办法。比如子问题里用了Krylov子空间迭代法的情况下。

从算法实现的角度来看，优化代码有可能会有惊喜。比如用matlab的时候降低关键for循环的使用对提速的效果很明显。

先mark一下，等我什么时候能看到图了再回头看看。
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2楼2010-07-02 00:18:12
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onesupeng

金虫 (职业作家)
★ ★ ★ ★
有机物(金币+1):谢谢参与
javeey(金币+3):谢谢参与交流 2010-07-02 07:27:38
实际上你的问题FDM比较快了，可能一般情况下没有简单的近似方法。

如果你的精度不是非常高的话，可以分步差分

也可以采用交替迭代

总之不会太难。也可以按照楼上的说法，不过做起来更麻烦一些。


不过我觉得采用3阶TVD时间推进格式，应该很容易做，而且快的不行。就不贴代码了阿。


另外，楼主时计算生物的阿？我可以合作做很多研究阿，怕你觉得我水平不够~




[ Last edited by onesupeng on 2010-7-2 at 02:11 ]
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
3楼2010-07-02 01:29:45
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onesupeng

金虫 (职业作家)
补充一个，做研究之道是先能实现，在讲求优化和效率，否则觉得别人不怎么样却做不出来。
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4楼2010-07-02 01:48:31
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有机物

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by onesupeng at 2010-07-02 01:29:45:
实际上你的问题FDM比较快了，可能一般情况下没有简单的近似方法。

如果你的精度不是非常高的话，可以分步差分

也可以采用交替迭代

总之不会太难。也可以按照楼上的说法，不过做起来更麻烦一些。


不 ...

非常感谢。惭愧！PDE解得不多。我曾经用Crank-Nicolson型有限差分法解过3维的PDE，已经很慢了。也许是我的电脑性能比较差，当时好像是1G的内存，2.8G的CPU。

我要解的这个高维PDE，精度可以不用很高，但希望算法能有一定的稳定性，最好是绝对稳定的。我查阅了一些解PDE的资料，都没有介绍高维PDE。您在图中给出的计算方法哪本书有介绍，或者哪篇文献有介绍？谢谢。

生物是我打算做的另一个方向，很惭愧，刚开始入门。主要想做神经性疾病，以后可以多多交流，。
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5楼2010-07-03 12:44:07
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onesupeng

金虫 (职业作家)
你要绝对稳定，你就按照绝对稳定的格式去做就行了，不过求解代数方程稍微麻烦一点而已了，这个每个人做都有自己的平衡点

四维和二维、三维没有本质区别，你会做三维的，我没有明白你四维的难度何在？

我一贯坚持：先能实现，再讲求优化和效率

[ Last edited by onesupeng on 2010-7-3 at 13:12 ]
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6楼2010-07-03 13:09:37
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jiahl

金虫 (小有名气)
★
有机物(金币+1):谢谢参与
可以试试有限元，其实从理论角度来讲，你的这个方程就是一个热传导方程。系数如果退化的话可能会稍微有点困难。解PDE的话边界条件和初值对最终的解影响很大。所以你要多朝这方面考虑问题。
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业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随
7楼2010-07-03 15:19:11
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onesupeng

金虫 (职业作家)
引用回帖:
Originally posted by jiahl at 2010-07-03 15:19:11:
可以试试有限元，其实从理论角度来讲，你的这个方程就是一个热传导方程。系数如果退化的话可能会稍微有点困难。解PDE的话边界条件和初值对最终的解影响很大。所以你要多朝这方面考虑问题。

人家连FDM都嫌慢，再去做FEM那更慢。FDM对边界处理没有那么弱
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8楼2010-07-04 01:16:50
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
有机物(金币+3):谢谢回复 2010-12-21 20:28:33
显式格式的稳定性可以通过调节时间步和空间步得到。看问题似乎离散之后不会太特殊。如果计算代价在求解线性子问题上，我还是建议看看矩阵结构，看看能否优化条件加速。这方面的研究比较活跃，可以用的知识比较多，而且实现起来比较简单。
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9楼2010-07-04 05:03:01
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onesupeng

金虫 (职业作家)
有机物(金币+14):多谢！ 2010-12-21 20:28:50
其实我觉得用显示推进完全满足他的应用需求，但不知道为什么要要求一个绝对稳定的要求

前面我列出的那个格式就是三阶，在求解对流扩散方程上屡试不爽，就连有间断的情形，也有很多人用这个格式，非常快捷编程也很容易。（这个根本无须迭代）

非要用隐式格式也可以，比如交替迭代等。搞什么一个矩阵Ax=B的求解多麻烦，而且我不相信这个方程会比我们遇到的压力泊松方程难解。
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10楼2010-07-04 05:34:45
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