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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】复合函数周期问题
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【有奖交流】积极回复本帖子，参与交流，就有机会分得作者 hnhyxhf 的 4 个金币

hnhyxhf

铜虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】复合函数周期问题 已有3人参与

对于任意的 $x$， 二元函数 $g(t,x)$ 关于 $t$ 是一个以 $1$ 为最小周期的函数。 $f(t)$ 是一个 $T_1$ 周期函数，那么，$g(t,f(t))$是一个周期函数，它的最小周期是多少？能提供相关文章或者参考书也可以！

[ Last edited by javeey on 2010-4-2 at 19:42 ]
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1楼 2010-04-02 18:25:04
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小雨萌萌

铜虫 (文坛精英)

优秀版主
★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
bluesine(金币+1):按照楼主的意思应该是这样的，感觉 2010-04-03 20:16
$f(t)$ 是一个 $T_1$ 周期函数，是说周期为 T_1 吗？
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2楼2010-04-02 22:02:24
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lizh714285

金虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
bluesine(金币+3):正解。我刚看到，呵呵 2010-04-03 20:39
如果T_1是有理数（当然是正数），表成A/B(A,B均为自然数)；那么周期是A
如果不是有理数，则这不是周期函数。

g(t,x)是关于t的周期函数，是指对任意合理取定的x0，关于t的函数g(t,x0)都是以1为周期的函数。
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3楼2010-04-02 22:03:31
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hnhyxhf

铜虫 (初入文坛)
这样说吧，$f(t)$是一个周期函数，它的最小周期是 $T_!$，其中,$T_1$ 是一个有理数。但是，$g(t, x)$是一个关于 $(t,x)$ 两个变量连续的函数，且关于$t$变量是一个周期函数，其最小周期是$1$的。那么，复合函数 $g(t,f(t))$ 是不是周期函数。lizh714285  的说明，我不太理解。因为我们要说明复合函数 $g(t,f(t))$ 的最小周期，而不是说明 $g(t,x)$ 的周期。
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4楼2010-04-02 23:32:53
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hnhyxhf

铜虫 (初入文坛)
这个问题的背景是： $g(t,x)$ 是一个二元连续函数，关于$t$是以$1$为最小周期的， 关于 $x$是奇函数，而且$x(t)$ 还有一个无穷级数表示，即$x(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}[a_k\cos(\frac{\pi}{2}(2k-1)t)+b_k\sin(\frac{\pi}{2}(2k-1)t)]$.由于$g(t,x)$关于$t$是$1$周期函数，可以利用傅立叶级数把它展开成$\sin(2k\pi t)$ 和$\cos(2k\pi t)$的级数形式，然后通过复合函数来求最小周期，但是，这样一来就得考虑级数的收敛性问题了。所以，我还是比较希望从复合函数的周期性入手来计算和证明$g(t,f(t))$的最小周期。
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5楼2010-04-02 23:56:59
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lizh714285

金虫 (小有名气)
hnhyxhf(金币+3): 2010-04-03 09:19
有理数,都可以表成分数形式，A/B(A,B均为自然数)
一般说，这个复合函数，是以A为（最小）周期的。
但不能排除g(t,x)和x(t)两函数的某种周期对称性峰谷对消效果。

可以通过验证方法，看看A的可分解的素数因子是否是周期
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6楼2010-04-03 07:59:00
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hnhyxhf

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by lizh714285 at 2010-04-03 07:59:00:
有理数,都可以表成分数形式，A/B(A,B均为自然数)
一般说，这个复合函数，是以A为（最小）周期的。
但不能排除g(t,x)和x(t)两函数的某种周期对称性峰谷对消效果。

可以通过验证方法，看看A的可分解的素数因子 ...

$f(t)$是$4/m$周期的，其中，$m$是正整数。而$g(t,x)$对于任意的$x$是最小周期为$1$的函数，那么，复合函数的最小周期是$4$，$2$或者 $1$吗？请教 lizh714285，你说的“通过验证方法”是指什么？
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7楼2010-04-03 09:18:57
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lizh714285

金虫 (小有名气)
对，一般说是4，但不能排除可能是2或1

验证一下，就是看看：g(t,f(t))是否与g(t+2，f(t+2))相等。
可以把t+2带入式中，化简一下（化简中可利用周期性已知），看看是否能获得与将t 带入的同样结果。
（如果验证证明2是周期，再将t=1也一样处理一下，看看1是否周期）。

也可以找一些明确的点，比如，分别令t=1.32，1.32+1，1.32+2 带入试算一下。当然明确点试算的方法是必要性检验，不是充分性检验。（只保证排除，不保证证明）

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-3 at 17:27 ]
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8楼2010-04-03 17:24:39
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hnhyxhf

铜虫 (初入文坛)
bluesine:检查一下偶的证明对不对@ 2010-04-03 20:40
但是，g(t,f(t))没有具体的表达式，不能代入计算的，需要用数学语言来证明的。
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9楼2010-04-03 19:32:32
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★
小雨萌萌(金币+1):谢谢交流。 2010-04-03 20:46
hnhyxhf(金币+2): 2010-04-03 22:18
引用回帖:
Originally posted by hnhyxhf at 2010-04-03 19:32:32:
但是，g(t,f(t))没有具体的表达式，不能代入计算的，需要用数学语言来证明的。

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板凳要做十年冷文章不发一个字
10楼2010-04-03 20:33:31
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