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yahoohoo

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[交流] 【在线答疑】经典粒子体系的Monte Carlo 模拟之基础篇已有29人参与

应版主lei0736之盛情相邀，特开此贴，虽名为分享，实为讨论，希望与初学者以及从事MC研究的同行一起交流。第一篇关于粒子体系的MC模拟基础，欲将涉及以下几个概念与问题：

概念:
正则系综、相空间、概率密度、细致平衡(Detailed Balance)、Metropolis重要性抽样

问题:
(1) 为什么用MC？
(2) MC能做什么？不能做什么？
(3) 怎么做MC？

讨论中打算在适当之处添加一些伪代码(c++)以供理解。

欢迎大家多提宝贵意见。

[ Last edited by lei0736 on 2009-12-21 at 18:04 ]

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zhang_jaj

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1楼 2009-12-21 16:53:16

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我才研一，刚刚接触MC，纠结啊

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52楼2010-10-05 20:17:35

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lei0736

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祝贺开贴
顺便问下细致平衡条件的重要性如何
以及如何在模拟中注意哪些事项以保证细致平衡条件

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2楼2009-12-21 18:55:47

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lei0736(金币+1):欢迎参与讨论 2010-01-30 17:00

请问用MC做表面活性剂自组装和高分子稀溶液自组装的可靠性？
看过很多文章，貌似用MC做同样的体系和用SCFT,DPD做出来的结论大不相同。谢谢！

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Anewday,anewhour,anewminute,anewpeople.

3楼2009-12-21 21:13:07

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yahoohoo

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lei0736(金币+10,VIP+0):呵呵值得推荐 12-22 09:57
zeoliters(金币+5,VIP+0):谢谢！ 12-25 16:25

引用回帖:

Originally posted by lei0736 at 2009-12-21 18:55:
祝贺开贴
顺便问下细致平衡条件的重要性如何
以及如何在模拟中注意哪些事项以保证细致平衡条件

Detailed balance 用公式表示为
$P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})= P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$
其中， $P(\mathrm{o})$ 表示微观态或微观构象 $\mathrm{o}$ 的概率(或几率)密度分布，在NVT系综中 $P(\mathrm{o})=\frac{e^{-\beta U(\mathrm{o})}}{\int\mathrm{d}\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}}$ ，即Boltzmann分布。 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示从构象 $\mathrm{o}$ 到构象 $\mathrm{n}$ 所设计进行的尝试运动的几率，而 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 则是接受从构象 $\mathrm{o}$ 到构象 $\mathrm{n}$ 的尝试运动的几率，因此 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示从构象 $\mathrm{o}$ 到构象 $\mathrm{n}$ 的转移几率。用简单的语言描述，Detailed balance 是指从构象 $\mathrm{o}$ 到构象 $\mathrm{n}$ 的流量(flow)等于从构象 $\mathrm{n}$ 到构象 $\mathrm{o}$ 的流量，这也就是所谓的微观可逆性。

Detailed balance 的重要性在于 (1) 保证在有限的MC步数内达到所需的平衡概率分布[c.f. M.E.J. Newman & G.T. Barkema, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Oxford]，这一点有严格的数学证明，我们只需要知道这个结论就可以了； (2) 达到平衡后平衡就不再被破坏，这意味着根据MC算法产生的构象将满足平衡概率分布。

满足Detailed balance 公式的 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 解有很多，使用最为广泛的当属Metropolis 算法：

$P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, \frac{P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})}{P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})} \right\}$
这里， $P(\mathrm{o})/P(\mathrm{n})$ 是已知的，对于NVT系综，
$\frac{P(\mathrm{o})}{P(\mathrm{n})}=e^{-\beta\bigl\{U(\mathrm{n})-U(\mathrm{o})\bigr\}}$ 。而 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ ( $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$ )取决于我们设计的Monte Carlo运动(move)是如何由构象 $\mathrm{o}$ ( $\mathrm{n}$ )到构象 $\mathrm{n}$ ( $\mathrm{o}$ )的。例如对于简单的粒子体系，我们现在设计随机移动一个粒子的位置，伪代码为

int ichosen = int(Ntot * mt19937.getReal3()); // Ntot: 粒子的数目; mt19937.getReal3()返回(0, 1)之间的随机数
double stepsize = 0.5 * sigma_LJ; //假设LJ 粒子体系,  sigma_LJ为LJ直径. 在实际模拟中一般需要调节stepsize的大小以获得一定的尝试运动成功率, 例如30%.
for (int j = 0; j < 3; ++j)
  xn[ichosen][j] = xo[ichosen][j] + stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5); //(2.0*mt19937.getReal3()-1.0)返回(-0.5,0.5)的随机值.

这段代码的for循环实现的是以随机选取的粒子的原有位置xo[ichosen]为中心所形成的边长为 stepsize的正方体内随机产生一个新的位置xn[ichosen]，那么， $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) \propto \mathrm{stepsize}^{-3}$ ，因为stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5) 保证了由旧位置到新位置的尝试运动几率等于由新位置到旧位置的尝试运动几率，所以这里 $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})=\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 。有了这样设计的尝试运动再加上利用 Metropolis 算法 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, P(\mathrm{n})/ P(\mathrm{o})\right\}$ 来判断是否接受这样的尝试运动，达到平衡后的构象分布就已经满足我们想要抽样的统计概率 $P(\Gamma)$ 分布了。

简单一句话， 通过Detailed balance设计MC尝试运动，保证我们能达到平衡而且平衡后的构象满足我们想要的概率分布。

仍然以NVT系综为例，任意可测量量 $\mathcal{O}$ 的统计定义为
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \frac{\int\mathrm{d}\Gamma\mathcal{O}(\Gamma) e^{-\beta U(\Gamma)}}{\int\mathrm{d}\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}} =\sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)\mathcal{O}(\Gamma_i)$
需要注意的是：我们已经知道  达到平衡后的构象分布就已经满足我们想要抽样的统计概率 $P(\Gamma)$ 分布了，这就表明在MC中，
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} \mathcal{O}(\Gamma_i)$

因为MC所产生的平衡构象 $\Gamma_i$ 已经满足平衡分布 $P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)$ 了。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-22 at 04:21 ]

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4楼2009-12-21 22:28:15

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