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gavinliu7390

木虫 (著名写手)

[资源] 【原创】关于k点取样

实际上，关于k点取样，有些人还不是很明白。我将在这里做简单的介绍。若有问题，请指教。
首先，需要你了解一下固体物理的基本知识。
能带理论无疑是固体最成功的一块理论之一。它成功解释了什么是导体，半导体，绝缘体等！而密度泛函理论实际也是建立在它的基础上。其实这个近似最早应该是奥本海默的绝热近似，这个近似是由于核的质量远远大于电子的质量，所以核的速度远远小于电子的速度。这样核和电子的波函数成功的分离。认为核在平衡位置附近振动，核和核之间可以看成整体振动，形成了格波，就是所谓的声子。我在这里就不细讲了。而认为电子则可以看成自由电子在一个周期场的微扰之下运动，我们知道电子是全同费米子。两个电子是不可区分的。电子和电子之间可以看成一种整体在运动。那么在倒空间里，电子的能量Ek是k的准连续函数。由于平移对称性的考虑，我们可以只研究第一布里渊区。实际上就会形成一条条带，而一条带则相当于两个电子（这里考虑到自旋）。这部分随便找本固体书就有。
而实际上我们所需要的就是所有电子的能量，这个我们可以通过对dk积分得到。将布里渊区所有的快点积分，就是电子的能量。但实际上，我们是做不到的，首先 k点是无穷多个；其次，我们在利用自洽的方法解薛定谔方程的时候，实际是对每个k点求解的。k点多了，计算量自然就上去了。由于Ek是k的准连续函数，这样我们可以通过k点的取样，求解个别的k点。这样只要趋势对了，自然Ek对k的函数就确定了，这样电子的能量就通过积分可得（当然，我在这里也是大概的描述。），当然是k点越多，计算越准，当然这里没有考虑到系统误差。至于k点的取样是有很多种方法的，这实际上就属于技术问题了。比较方面的是M-P取样，我简单的描述一下这中方法。举一个一维的例子。如果正空间的晶格常数是0.5的话，那么倒空间的晶格常数就为2.如果我们取四个k点的话，就是 -0.75，-0.25，0.25，0.75.这样我们通过这四个点的积分，便可以求出总能量。至于其它的方法，如果你有兴趣，可以自己研究一下，其实这部分不是很难。只是cohen的方法相对难些。
当然考虑对称性可以简化计算。这里，如果有轴对称的话，我们只需要算0.25，和0.75就可以了，每个的权重相当于0.5.在立方晶系，常常由于对称性的考虑，即使你选了1000个k点，但实际需要计算的也许就几十个。这样有效的节约了计算资源，提高了计算速度。但这个，初学者可以先不管，重要的是每个 k点的薛定谔方程式如何解的，先搞清其它理论，最后可以再搞群伦。当然有能力的话，就一起来。
至于k点如何取样，这主要看倒空间的比例，如果倒空间的比例为：2比3比4.你可以按这个比例选，4 6 8，或6 9 12.当然需要收敛测试，测试到你认为能量收敛即可。
对于vasp，除了M-P方法，还有一种G法，通常在六角晶系中使用。
每个软件都有自己的取法，这个可以看看说明书，例如abinit就有自己的方法。
以上只是简单介绍，如果有问题，请谅解。我在家中，没有资料，只能凭自己的想法写一些东西。

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