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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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群表示论在量子力学中最大的应用似乎在对薛定谔方程的求解，更像是手段而非基础。
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你说的比我更精确。确实如此。
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31楼2009-08-30 09:58:11
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 09:50:
你说的其实不是概率值，因为量子力学中的概率值本身就是一个积分。
另外，算符的连续性就可以保证算符作用在傅立叶展开级数后仍收敛（按照 L2空间上的范数收敛）于算符作用于原态函数得到的结果，一致收敛 ...

1.我说的是在某点附近的概率值，即概率幅的模方乘以体积元，当然，如果你一定要把这个看成体积元上的积分也可以…
2.算符的连续性可以保证这点，但这个要求太高，比如对于线性算符，在赋范空间中连续与有界等价，这直接导致通常的微分算子在全体l2空间中不连续（存在元素使得算子的范数无界），所以要求算子的连续性将使得并不比一致收敛的要求低…
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32楼2009-08-30 10:09:17
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 10:09:

2.算符的连续性可以保证这点，但这个要求太高，比如对于线性算符，在赋范空间中连续与有界等价，这直接导致通常的微分算子在全体l2空间中不连续（存在元素使得算子的范数无界），所以要求算子的连续性将使得并不比一致收敛的要求低…

其实要求不高。
局限在Hilbert空间上的有界算子，你说的是一点不错。
但如果要把无界算子包括进来的话，实际上，量子力学中的算符都是定义在Hilbert空间的某个稠密的字空间上，这个字空间很多时候按照它本身的性质其实是个Frechet空间，典型的就是谐振子的算符的定义空间——速降函数空间。Frechet空间上的算子的连续性和有界性是不一致的。
微分算子在Frechet空间就是连续的。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 10:47 ]
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33楼2009-08-30 10:21:19
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lxd_bruce

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 10:09:

1.我说的是在某点附近的概率值，即概率幅的模方乘以体积元，当然，如果你一定要把这个看成体积元上的积分也可以…

概率幅的模方乘体积元，只有在体积元是微分的情况下是合适的。其它时候，都是看成为积分。
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34楼2009-08-30 10:33:03
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 10:21:
其实要求不高。
局限在Hilbert空间上的有界算子，你说的是一点不错。
但如果要把无界算子包括进来的话，实际上，量子力学中的算符都是定义在Hilbert空间的某个稠密的字空间上，这个字空间很多时候按照它本身 ...

不错，为了保证线性算符的连续性而缩小其作用空间确是一种不错的手段，特别当缩小后的作用空间在原空间中是稠密的时。
不过这还涉及到将其对不属于这个子空间的函数的作用问题，当然在数学上又可以通过不同的逼近准则来很好的定义，也是广义函数论的基本思想。但是这时的算符与我们在计算中所采取的通常的算符（数分中或扩张前的原始定义）的是有区别的，所以问题就变为这些的区别是否在物理上是不可观测的，在物理这个“粗糙”的准则下，是否不同的收敛准则被抹平了。说到底还是扯到数学和物理的关系上了，好像离题太远了，就此打住吧，呵呵
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35楼2009-08-30 10:47:41
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lxd_bruce

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 10:47:


不错，为了保证线性算符的连续性而缩小其作用空间确是一种不错的手段，特别当缩小后的作用空间在原空间中是稠密的时。
不过这还涉及到将其对不属于这个子空间的函数的作用问题，当然在数学上又可以通过不同的逼近准则来很好的定义，也是广义函数论的基本思想。但是这时的算符与我们在计算中所采取的通常的算符（数分中或扩张前的原始定义）的是有区别的，所以问题就变为这些的区别是否在物理上是不可观测的，在物理这个“粗糙”的准则下，是否不同的收敛准则被抹平了。说到底还是扯到数学和物理的关系上了，好像离题太远了，就此打住吧，呵呵

其实是没问题的。
根本不会涉及到将其对不属于这个子空间的函数的作用的问题。

比如微分算符，当然只能作用在可微函数构成的空间上，但为了保证这个空间是微分算子的不变空间，当然要求它是速降函数空间。

为了扩大讨论的函数范围，把散射态函数（不是平方可积）包括进来，就得把速降函数空间上的连续线性泛函包括进来，这就是广义函数空间（更准确的说，是sobolev空间）了。

这时的微分算子，当然就不是数分中经典的导数了，而是作用在sobolev空间上的广义导数/弱导数了。

PS：从把散射态波函数包括进来，你就可以看出，微分算子的作用空间其实比原先的Hilbert空间更大了。

PS2：子空间作为Frechet空间，它的伴随空间其实比Hilbert空间的伴随空间（是它本身）更大。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 11:14 ]
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36楼2009-08-30 10:56:38
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lxd_bruce

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说到底还是扯到数学和物理的关系上了，好像离题太远了，就此打住吧
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其实你并没有离题，你提的问题很好，很有深度。
你不过是有点困惑量子力学中的各种收敛的区别了，造成对泛函分析不再信任，以至于想从经典数学框架中找答案。
这是正常的，我也曾困惑微分算子不是有界算子。后来学了线性拓扑空间的知识才明白。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 11:10 ]
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37楼2009-08-30 11:07:27
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 10:56:
其实是没问题的。
根本不会涉及到将其对不属于这个子空间的函数的作用的问题。
比如微分算符，当然只能作用在可微函数构成的空间上，但为了保证这个空间是微分算子的不变空间，当然要求它是速降函数空间。 ...

我所说的算子扩张算子使其作用于不属于这个空间的元素的意思是指：如你所说微分算子只能作用于可微函数，但是量子力学中的动量算符实际上是作用于左矢与右矢的内积即泛函上，由于这一泛函的自变量—l2中的元却不必是可微的，形式上看就相当于扩展了微分算子的作用范围。
ps:如果把微分算子理解为作用在共轭空间中，那么如果缩小原空间（即将其变为可微函数空间或速降函数空间或其他），自然会扩大相应的共轭空间，从而扩大了微分算子的作用范围。
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38楼2009-08-30 16:19:48
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 11:07:
说到底还是扯到数学和物理的关系上了，好像离题太远了，就此打住吧
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其实你并没有离题，你提的问题很好，很有深度。
你不过是有点困惑量子力学中的各种收敛的区别了，造成对泛函分析不再 ...

我没有怀疑泛函分析的力量，只是对l2空间中完备基的逼近程度不满意…
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39楼2009-08-30 16:21:20
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lxd_bruce

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 16:19:

我所说的算子扩张算子使其作用于不属于这个空间的元素的意思是指：如你所说微分算子只能作用于可微函数，但是量子力学中的动量算符实际上是作用于左矢与右矢的内积即泛函上，由于这一泛函的自变量—l2中的元却不必是可微的，形式上看就相当于扩展了微分算子的作用范围。

应该是动量算符作用在广义函数上吧？

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 18:39 ]
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40楼2009-08-30 16:35:06
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