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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 00:06:
最后，泛函分析和测度论的入门教材推荐 a.h.柯尔莫戈洛夫的《函数论和泛函分析初步》，讲得很好，对于每个稍微陌生的概念都给出定义，仅需要很少的预备知识，比如高数或数分就可以通读～

你眼光不错，柯尔莫戈洛夫是大牛，概率论的开山祖师，泛函分析也很牛。
这本书我没看过，不过大师的书，想来总不会不好的。
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21楼2009-08-30 01:13:45
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mozhui

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GrasaVampiro(金币+10,VIP+0):3x 8-29 19:00
因此，尽管三角函数系是l2空间在自变量有界的情形下的完备基，但这里的“完备”仅意味着原函数和展开级数的在l2范数意义下的等价性，而在具体自变量的某个值处，可能会差异巨大（这直接影响在该点几率结果的计算），而处处收敛或一致收敛的要求则要强的多。
所以，我的意思是，尽管l2中的完备基可以在平均收敛的意义下逼近其中的任意函数，但是如果提高要求，比如不仅要求收敛是平均的，还要是处处的（这在量子力学中是有意义的，比如，用展开级数近似计算空间某些点或某个区域内粒子出现的概率时），那么就需要删除l2中相当多的函数，我所感兴趣的是剩下的函数应该满足什么样的条件？
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22楼2009-08-30 01:36:25
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 01:08:
回楼上，据我所知，l2空间的完备性是在平均收敛（即按由内积引入的范数趋于零）而非处处收敛或一致收敛的意义下的，因此，只能保证其中的函数对于你所说的完备基展开级数的差的平方的勒贝格积分趋于零而非在每点都趋于零…希望你去查查清楚～

我明白你的意思了。
量子力学中讨论的空间是全空间上平方勒贝格可积的函数的集合。
而你要 求的是这种函数（即波函数）在某个有限区间上的“概率”，你想知道，用波函数的傅立叶级数的每一项求在这个有限区间的“概率”的和的极限，是否和用原来的波函数在这个有限区间求得的“概率”相同，对吧？

这个我可以告诉你，是相同的。

全空间上平方勒贝格可积必然在任何一个有限区间平方勒贝格可积的。
在某个有限区间平方勒贝格可积的所有函数构成的空间也是一个hilbert空间，可以定义类似的内积，记为p。

所以问题转化成：这个有限区间上的任何一个平方勒贝格可积函数的傅立叶级数是否按照p所定义的范数收敛与它本身？对吧？

答案是肯定的。

其实你所说的傅立叶级数不必几乎处处都收敛于它本身。这个要求太强了。没有必要的。只要按照p所定义的范数收敛与它本身就可以了，因为这本身就是你想要的结果了。

不过注意，这个有限区间和三角函数的积分区间[-派，+派]差一个变换，算积分的话，要把这个变换也计算在内。

具体可以去看北大潘文杰写的《傅里叶分析及其应用》第二章2.7节。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 02:33 ]
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23楼2009-08-30 02:10:26
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 01:36:
因此，尽管三角函数系是l2空间在自变量有界的情形下的完备基，但这里的“完备”仅意味着原函数和展开级数的在l2范数意义下的等价性，而在具体自变量的某个值处，可能会差异巨大（这直接影响在该点几率结果的计算） ...

数学上，一般在某个点的积分是无意义的。
哪怕是广义函数，也不过是定义为基本函数空间上的连续线性泛函。
不过倒是可以用有限区间的积分值的去逼近这个点，把这个极限（如果有的话）作为这个点的积分的定义。这就是比较“粗糙”的方式了。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 02:34 ]
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24楼2009-08-30 02:13:31
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lxd_bruce

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 01:36:

因此，尽管三角函数系是l2空间在自变量有界的情形下的完备基，但这里的“完备”仅意味着原函数和展开级数的在l2范数意义下的等价性，而在具体自变量的某个值处，可能会差异巨大（这直接影响在该点几率结果的计算），而处处收敛或一致收敛的要求则要强的多。
所以，我的意思是，尽管l2中的完备基可以在平均收敛的意义下逼近其中的任意函数，但是如果提高要求，比如不仅要求收敛是平均的，还要是处处的（这在量子力学中是有意义的，比如，用展开级数近似计算空间某些点或某个区域内粒子出现的概率时），那么就需要删除l2中相当多的函数，我所感兴趣的是剩下的函数应该满足什么样的条件？

就你所求的东西，其实根本不需要处处都收敛的。
“处处”这个要求太高了。实分析中讨论的也不过是“几乎处处”。
你如果真对这个感兴趣，倒是可以看看在有限区间上勒贝格可积的函数空间的傅里叶分析的内容。
参考的书也是我刚才说的那本。
有胃口的话，可以去看看傅里叶分析的名著。
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25楼2009-08-30 02:23:45
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lxd_bruce

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现在看来量子力学的数学基础是泛函分析
========================
不光是泛函了，还有群表示论。
包括特殊函数的理论，也是可以用群表示论（主要是李群李代数的表示论）来推导的。
而且群表示论在量子场论中MS用得更多。
群表示论，我还没搞定。差不少呢。呵呵。
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26楼2009-08-30 02:38:08
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 02:13:
数学上，一般在某个点的积分是无意义的。
哪怕是广义函数，也不过是定义为基本函数空间上的连续线性泛函。
不过倒是可以用有限区间的积分值的去逼近这个点，把这个极限（如果有的话）作为这个点的积分的定义 ...

广义函数中的收敛是指广函序列在基本空间每个元素上的收敛，要求自然也宽的多，不过与我们所讨论的问题似乎无关。
我想知道的是在某些点的概率值，而非积分。由于平方收敛的要求展开函数与原函数的差异仅存在于零测集上，所以可以理解有限区间上的积分确可保证收敛性～
而对于某些点附近出现概率值的逼近要求则会导致处处收敛的要求。另外，更进一步，如果希望算符作用（比如动量算符对应的微分算子）到傅立叶展开级数后仍收敛于算符作用于原态函数得到的结果，将导致对一致收敛性的要求。
所以，我的本意是，讨论量子力学中的态函数的展开问题，仅依据l2空间的完备性来进行各种运算似乎是不很安全的，在数学上没有严格的保障。
潘老师的书拜读过一部分，确是一本好书～
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27楼2009-08-30 09:34:35
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 02:38:
现在看来量子力学的数学基础是泛函分析
========================
不光是泛函了，还有群表示论。
包括特殊函数的理论，也是可以用群表示论（主要是李群李代数的表示论）来推导的。
而且群表示论在量子场论中M ...

群表示论在量子力学中最大的应用似乎在对薛定谔方程的求解，更像是手段而非基础。量子场论没学过就不清楚了（不过我买的那本量子场论导论中泛函分析特别是函数积分处于主导地位…）…群论的书推荐j.f.cornwell的《物理学中的群论》对于线性李群和李代数都有较为详细的讨论，他还有本较新的《导论》，保留了原书的基本框架但略去了大段的证明，赶时间的话看看也不错～
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28楼2009-08-30 09:35:16
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lxd_bruce

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 09:34:


广义函数中的收敛是指广函序列在基本空间每个元素上的收敛，要求自然也宽的多，不过与我们所讨论的问题似乎无关。
我想知道的是在某些点的概率值，而非积分。由于平方收敛的要求展开函数与原函数的差异仅存在于零测集上，所以可以理解有限区间上的积分确可保证收敛性～
而对于某些点附近出现概率值的逼近要求则会导致处处收敛的要求。另外，更进一步，如果希望算符作用（比如动量算符对应的微分算子）到傅立叶展开级数后仍收敛于算符作用于原态函数得到的结果，将导致对一致收敛性的要求。
所以，我的本意是，讨论量子力学中的态函数的展开问题，仅依据l2空间的完备性来进行各种运算似乎是不很安全的，在数学上没有严格的保障。
潘老师的书拜读过一部分，确是一本好书～

你说的其实不是概率值，因为量子力学中的概率值本身就是一个积分。

另外，算符的连续性就可以保证算符作用在傅立叶展开级数后仍收敛（按照 L2空间上的范数收敛）于算符作用于原态函数得到的结果，一致收敛是不必要的。
因为往往所求的概率不过是求个积分而已。

按照实分析的角度，L2空间上的函数的傅里叶展开问题在MS在量子力学上没有多大应用价值。
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29楼2009-08-30 09:50:15
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 09:35:

群表示论在量子力学中最大的应用似乎在对薛定谔方程的求解，更像是手段而非基础。量子场论没学过就不清楚了（不过我买的那本量子场论导论中泛函分析特别是函数积分处于主导地位…）…群论的书推荐j.f.cornwell的 ...

多谢，我会去翻翻你说的那本书。
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30楼2009-08-30 09:51:54
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