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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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msphy

木虫 (小有名气)
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强中自有强中手，山中自有楼外楼。
lxd_bruce  同学耐心细致的讲解一方面为我们解去了疑问，另一方面让我们认识到学海无涯，学无止境。

请问 lxd_bruce  能否推荐一本专门写给学物理的人看的泛函分析方面的书？（浅显一点，但能抓住本质的）一直想去听数学系的课，但是听一位数学系的师兄说要先学会实变函数论才能学懂泛函，一下子就没有信心了。。。
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Cogito, ergosum
11楼2009-08-16 22:29:29
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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GrasaVampiro(金币+10,VIP+0):3x 8-17 08:43
理论上说，确实应该懂一些实变函数的测度积分理论才能明白泛函。因为非相对论量子力学讨论的 Hilbert空间——L2 空间（平方可积函数空间）其实不是微积分所讨论的黎曼意义下的可积，而是实分析中勒贝格意义下的可积。
但是如果你只要了解 Hilbert空间的性质的话，不细究问题也不大。
教材的话，我看的是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册·第二版。这本书还是比较适合初学者看的。
只要把第六章第1，2，3，4节搞明白， Hilbert的理论框架就有了。
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12楼2009-08-17 13:35:00
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timehole

银虫 (小有名气)
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量子力学中，“态”的概念至关重要。态，描述一个物理系统的所处的状态。
Dirac选择右矢空间的态矢量来描述态。左矢右矢空间是两个空间。其实，当初如果选择左矢空间来描述态也无不可。
右矢的物理意义就是系统的态。虽然左矢没有物理意义，但左矢和右矢的内积却有物理意义。记得在Dirac 的《量子力学原理》中，就是先有右矢的概念，又有内积，才确定出一个左矢空间。而左矢和右矢的外积则是一个算符。
不认为右矢是个复量。然而，左矢和右矢的内积确是个复量。内积，也就是标量积，就是一个复数，表示一个态矢量在另一个态矢量上的分量。
Dirac的确是在《原理》一书里建立了一套自己的数学体系。虽然他也提到了Hilbert space，但二者并不一样。《原理》一书是自成体系的。
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我是跨专业，半路学的量子力学，也没学过ls几位所提及的数学知识，虽然一直想学。如有错误，请大家指正。
Dirac的《量子力学原理》绝对是圣经。不过，里面的符号确实和现在通用的不太一致。如果想看其他书，推荐LZ读下Shanker的《Principles of Quantum Mechanics》，第一章专门讲述的态矢量，线性空间，及运算规则，相信可以解决lz提出的疑问。中文书里，喀兴林的那本也挺好的，初学者可以看看前两三章，会有收获。
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13楼2009-08-17 19:38:47
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msphy

木虫 (小有名气)
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感谢lxd_bruce同学的推荐，还有timehole同学的分享! 很高兴能与大家交流。



[ Last edited by msphy on 2009-8-17 at 22:13 ]
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Cogito, ergosum
14楼2009-08-17 22:10:48
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xinzhizhuxia

铜虫 (小有名气)
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问题一：首先搞清楚量子力学中粒子的态即波函数是可以线性叠加的，这是试验证明的，然后才有对这种性质提出的数学模型来解释。这种可以线性叠加的性质在Hiber空间是一致的。Hiber空间是多维空间，是我们常用的坐标空间的扩展，不同的是Hiber空间的单位矢量是相应物理量本征态，同时这些本征态满足完备特性，也就是任意态都可以用这些本征态线性叠加，这就是线性空间的性质。狄拉克的右矢就是不用考虑表象的本征态，是更为简洁的。
问题二：右矢和左矢可以相加阿，关键是这得不到有任何物理意义的量。而相成这恰好得到相对应的物理量概率密度。如果你参考波函数的性质就理解了。
问题三：狄拉克右矢和左矢的运算规则不是新的规则，在复变函数里有对应的运算法则！
这是个人愚见，不足之处望批平指正！
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15楼2009-08-19 09:10:39
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zmb6210

金虫 (小有名气)

感谢lxd_bruce的解释

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比较通俗,补充一点hilbert空间是完备的内积空间.
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16楼2009-08-24 11:18:36
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ffffcccc

新虫 (初入文坛)
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hilbert空间是完备的内积空间，关于完备性的概念，请参看泛函分析。有了完备这个特性，所有的运算都没问题，呵呵
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17楼2009-08-24 11:55:14
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mozhui

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GrasaVampiro(金币+30,VIP+0):3x 8-29 19:00
lxd_bruce同学讲得不错，现在看来量子力学的数学基础是泛函分析，如lxd同学所述，狄拉克在《原理》中所引入的几乎所有符号和运算形式在泛函分析中都可以找到数学上对应的严格定义，比如：标量积（即左矢与右矢的“内积”）。对于量子力学中的ket与bra(这个容易让人产生不好的联想…)，在数学上分别对应于希尔伯特空间（完备的内积空间）中的元素和其上的连续线性泛函（即希尔伯特空间的共轭空间中的元素），所以左矢与右矢实际上是不同类型的，在这个意义下，《原理》中左矢与右矢间的“内积”应理解为连续线性泛函（相应于bra）在某一元素（相应于ket）上的函数值（一般值域是复数集的子集），而由于希尔伯特空间的特性（具有内积），其上任一连续线性泛函作用到某一元素上得到的值可以通过将该元素与此希尔伯特空间中一特定的元素（取决于该泛函）作内积而得到。因此，尽管左矢与右矢的“内积”（实际上是泛函值在某点的函数值）并不是希尔伯特空间中真实的内积（两元素必须属于同一空间），“内积”的结果却可以用希尔伯特空间中定义的内积来获得。
而对于量子力学中线性算符，数学上则是指希尔伯特空间到其自身（更一般的情况下则为任意两个线性拓扑空间间的映射）的一种映射操作，即其作用到一个态矢上可得到另一个态矢，并且这个映射是线性的。运算法则取决于算符的具体形式，比如是对态矢的旋转操作还是平移操作等等。另外，量子力学中重要的力学量的本征值问题在泛函分析中就是寻找相应线性算符的所谓“点谱”的问题，由此可见谱分析技术的发展对量子力学的重要性。
最后，量子力学中的“完备性”，关系到能否用本征函数展开逼近任意波函数的问题。说说自己对一个小问题的认识和理解，通常我们认为所研究的态函数属于L2（勒贝格平方可积）空间，并且乐于将态函数（当粒子仅出现于有界区域时，无界时通常用厄米多项式代替三角函数系）进行傅立叶展开，可以证明傅立叶级数能够在平均收敛的意义下逼近任何L2中的函数（即三角函数系构成L2空间的完备基），然而这一逼近并不能保证是“处处”的，即不能保证在空间的每一点傅立叶级数都收敛于态函数，这样，在没有更进一步的证明时，用傅立叶级数代替态函数计算粒子在空间某点或某部分出现的概率是比较危险的，尽管一般都这么做。当然，或许对于所有物理上“真实”的态函数都满足足够的条件以使其可以被对应的本征函数展开级数处处甚至一致地逼近，这个“真实”应对应于什么样的限制，当本征函数为三角函数系和某些特殊函数系时已经有了一些很好的结果，但是在一般情况下如何？或许是个有趣的问题（不过个人认为从物理的角度来讲意义不大…）
最后，泛函分析和测度论的入门教材推荐 a.h.柯尔莫戈洛夫的《函数论和泛函分析初步》，讲得很好，对于每个稍微陌生的概念都给出定义，仅需要很少的预备知识，比如高数或数分就可以通读～
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18楼2009-08-30 00:06:56
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lxd_bruce

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GrasaVampiro(金币+10,VIP+0):3x 8-29 19:00
引用回帖:
Originally posted by mozhui at 2009-8-30 00:06:
最后，量子力学中的“完备性”，关系到能否用本征函数展开逼近任意波函数的问题。说说自己对一个小问题的认识和理解，通常我们认为所研究的态函数属于L2（勒贝格平方可积）空间，并且乐于将态函数（当粒子仅出现于有界区域时，无界时通常用厄米多项式代替三角函数系）进行傅立叶展开，可以证明傅立叶级数能够在平均收敛的意义下逼近任何L2中的函数（即三角函数系构成L2空间的完备基），然而这一逼近并不能保证是“处处”的，即不能保证在空间的每一点傅立叶级数都收敛于态函数，这样，在没有更进一步的证明时，用傅立叶级数代替态函数计算粒子在空间某点或某部分出现的概率是比较危险的，尽管一般都这么做。当然，或许对于所有物理上“真实”的态函数都满足足够的条件以使其可以被对应的本征函数展开级数处处甚至一致地逼近，这个“真实”应对应于什么样的限制，当本征函数为三角函数系和某些特殊函数系时已经有了一些很好的结果，但是在一般情况下如何？或许是个有趣的问题（不过个人认为从物理的角度来讲意义不大…）

三角函数和特殊函数不过是L2空间上的特例而已。
Hilbert空间的完备性保证了它有一组Hilbert基，Hilbert空间中的任何函数都可用这组基展开，这组基的每一项的展开系数就被定义为傅立叶系数。这些傅立叶系数连同它对应每一项的和就被定义为这个函数的傅立叶级数。
（还可以证明这个傅立叶级数的傅立叶系数至多只有可列个不为零）
其实，这就是三角函数和特殊函数的傅立叶级数的抽象。
对于量子力学，你不要用古典的傅立叶级数去理解，应该用泛函分析的空间理论的观点去理解。在此基础上，去翻翻L2空间上的傅立叶分析的理论会更清楚的。
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19楼2009-08-30 00:59:24
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mozhui

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回楼上，据我所知，l2空间的完备性是在平均收敛（即按由内积引入的范数趋于零）而非处处收敛或一致收敛的意义下的，因此，只能保证其中的函数对于你所说的完备基展开级数的差的平方的勒贝格积分趋于零而非在每点都趋于零…希望你去查查清楚～
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20楼2009-08-30 01:08:46
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